Рассмотрим полет камня, брошенного из точки $A$.
В проекции на вертикальную ось
$$
v_{0} t\sin \alpha-\frac{g t^{2}}{2}=0,
$$откуда время полета
$$
t=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}.
$$Расстояние $L$ между точками $A$ и $B$ равно
$$
L=t v_{0} \cos \alpha=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g}=20~м.
$$Поскольку для камня, брошенного из точки $B$, можно аналогичным образом написать
$$
L=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g},
$$то мы получим $\sin 2 \alpha=\sin 2 \beta$, и, так как по условию $\alpha \neq \beta$, то $2 \alpha=\pi-2 \beta$, т. e
$$
\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}.
$$Далее удобно перейти в систему отсчета, в которой камни движутся равномерно.
В качестве тела отсчета выберем камень, вылетевший из точки $A$. Так как $\vec{v}_{1} \perp \vec{v}_{2}$ и $v_{1}=v_{2}=v_{0}$, то вектор $\vec{v}_{отн}$ есть диагональ квадрата, построенного на векторах $\vec{v}_{2}$ и $-\vec{v}_{1}$. Поэтому $v_{отн}=\sqrt{2} v_{0}$.
Из рисунка выше видно, что $A C$ — кратчайшее расстояние между камнями. Найдем его: $\delta=\alpha-45^{\circ}=30^{\circ}$ и, следовательно,
$$
A C=\frac{1}{2} L=10~м.
$$Время, через которое расстояние между камнями станет минимальным, равно
$$
t_{x}=\frac{A C}{v_{отн} \operatorname{tg} \delta}=\frac{10 \sqrt{3}}{20 \sqrt{2}} \approx 0.61~с.
$$Положения камней можно найти параллельным переносом отрезка $A C$ до тех пор, пока его начало и конец не окажутся лежащими на навесной и настильной траекториях камней (см. рисунок ниже), при этом $A^{\prime} C^{\prime}=A C$.
