Рассмотрим случай $a < g$. До отрыва груза от подставки
$$
a=\frac{m g-N-k x}{m},
$$где $N$ – сила реакции опоры, $x$ – удлинение пружины. В момент отрыва груза от подставки $N=0$, а удлинение
$$
x_{0}=\frac{m(g-a)}{k}.
$$В положении равновесия груза на пружине ее удлинение $x_{1}=\frac{m g}{k}$. После отрыва от подставки на груз будет действовать сила $F=m g-k x$. График зависимости силы $F$ от удлинения $x$ пружины приведен на рисунке ниже.
В момент начала движения подставки и в момент максимального удлинения пружины скорость груза равна нулю, в точке $x_{1}$ – скорость максимальна.
Таким образом, на участке $\left(0, x_{1}\right)$ увеличение кинетической энергии груза равно работе внешних сил $A_{1}$. На рисунке, представленном ниже, эта работа численно равна площади трапеции над осью $O x$. На участке $\left(x_{1}, L\right)$ уменьшается до нуля кинетическая энергия, и работа внешних сил $A_{2}$ численно равна площади треугольника под осью $O x$. Ясно, что площади должны быть равны друг другу, т. е. $A_{1}=A_{2}$ :
$$
\frac{1}{2}\left(x_{0}+x_{1}\right) m a=\frac{1}{2}\left(L-x_{1}\right)(k L-m g),
\\
\left(\frac{x_{0}}{x_{1}}+1\right) \frac{a}{g}=\left(\frac{L}{x_{1}}-1\right)\left(\frac{L}{m g / k}-1\right),
\\
2 \frac{a}{g}-\left(\frac{a}{g}\right)^{2}=\left(\frac{L}{x_{1}}-1\right)^{2},
\\
\left(\frac{L}{x_{1}}-1\right)^{2}+\left(\frac{a}{g}-1\right)^{2}=1.
$$
Если на графике $L$ откладывать в единицах $x_{1}$, ускорение $a$ в единицах $g$, то график $L(a)$ имеет наиболее простой вид.
Для $\frac{a}{g}<1$ соответствующая часть графика $L(a)$ представляет собой четверть дуги окружности с центром в точке $\frac{L}{x_{1}}=1$, $\frac{a}{g}=1$ (см. рисунок выше).
В случае, если $a \geqslant g$, отрыв груза от подставки происходит сразу после начала ее движения и $L=2 x_{1}$. Эта часть графика $L(a)$ представляет собой прямую линию. Окончательно имеем, что максимальная длина пружины
$$
L=\left\{\begin{array}{r}
x_{1}\left[1+\sqrt{\frac{a}{g}\left(2-\frac{a}{g}\right)}\right] \quad \text {при}\quad a < g,
\\
2 x_{1} \quad \text {при}\quad a \geq g.
\end{array}\right.
$$
