Какой путь $s_{2}$ оно может пройти за последующий промежуток времени $t_{2}$?

Тело движется по поверхности с ускорением $-\mu g$ до тех пор, пока не остановится. Обозначим начальную скорость тела через $v_{0}$. Возможны следующие случаи:

1. остановка тела произойдет на интервале времени от $0$ до $t_{1}$;
2. тело остановится на интервале от $t_{1}$ до $t_{1}+t_{2}$;
3. к моменту времени $t_{1}+t_{2}$ тело не остановится.

Если $v_{0} \leqslant \mu g t_{1}$, то $s_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} \leqslant \frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}$, a $s_{2}=0$. Это случай $1$. Пусть теперь $v_{0}>\mu g t_{1}$. При этом $s_{1}=v_{0} t_{1}-\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}$. Отсюда $$ v_{0}=\frac{1}{t_{1}}\left(s_{0}+\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}\right). $$ К моменту времени $t_{1}$ скорость тела уменьшится до значения $$ v_{1}=v_{0}-\mu g t_{1}=\frac{1}{t_{1}}\left(s_{1}-\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}\right). $$

Если $v_{1} \leqslant \mu g t_{2}$, то реализуется случай $2$. Последнее неравенство можно представить в виде $$ \frac{1}{t_{1}}\left(s_{1}-\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}\right) \leqslant \mu g t_{2} \text { или } s_{1} \leqslant \frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}+\mu g t_{1} t_{2}. $$ Пройденный телом путь $$ s_{2}=\frac{v_{1}^{2}}{2 \mu g}=\frac{1}{2 \mu g t_{1}^{2}}\left(s_{1}-\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}\right)^{2}. $$

Если $v_{1}>\mu g t_{2}$, то реализуется случай $3$. При этом $$ s_{1}>\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}+\mu g t_{1} t_{2}, \\ s_{2}=v_{1} t_{2}-\frac{\mu g t_{2}^{2}}{2}=\frac{t_{2}}{t_{1}}\left(s_{1}-\frac{\mu g t_{1}^{2}}{2}\right)-\frac{\mu g t_{2}^{2}}{2}. $$