Брусок плавает в устойчивом положении, если при его отклонении на небольшой угол $\alpha$ (см. рисунок) возникает вращающий момент сил.
Момент сил удобно считать относительно продольно оси, проходящей через центр $C$ торцевого сечения бруска, так как относительно этой оси момент силы тяжести бруска равен нулю. Момент архимедовой силы, действующей на погруженную в воду часть бруска, равен
$$
M=M_{O K D}-\left(M_{A B D N}-M_{O N E}\right).
$$
Обозначим $M_{A B D N}$ через $M_{1}$, а $M_{O K D}$ – через $M_{2}$. Поскольку по модулю $M_{O K D}=M_{O N E}=M_{2}$, то положение бруска будет устойчивым, если $2 M_{2}>M_{1}$. В свою очередь, имеем
$$
M_{1}=\rho g L a h l_{1},
$$
где $\rho$ – плотность воды, $L$ – длина бруска, $l_{1}=\left(\frac{a}{2}-\frac{h}{2}\right) \alpha$,
$$
M_{2}=\rho g L \frac{1}{2} \frac{a}{2} \frac{a}{2} \alpha l_{2},
$$
где
$$
l_{2}=\frac{2}{3} \frac{a}{2}+\left(h+\frac{a}{2}\right) \alpha.
$$
Неизвестную величину $h$ можно найти из условия
$$
\rho a h L=\rho_{x} a^{2} L,
$$
где $\rho_{x}$ – плотность бруска.
Введем обозначение: $x=\rho_{x} / \rho$, тогда $h=x a$. С учетом этого условие устойчивости бруска примет вид
$$
x^{2}-\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) x+\frac{2-3 \alpha}{12}>0.
$$
Поскольку $\alpha$ – малый параметр, неравенство можно упростить: $x^{2}-x+\frac{1}{6}>0$. Решая это неравенство, получим
$$
0<x<0.21 \text { и } 0.79<x<1.
$$
Так как плотность воды равна $\rho=1~г/см^{3}$, имеем окончательно
$$
0<\rho_{x}<0.21~г/см^{3} \text { и } 0.79~ г/см^{3}<\rho_{x}<1~г/см^{3}.
$$