Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За малый промежуток времени $\Delta t$ изменение его импульса составит:
$$
m \Delta v_{в}=-m g \Delta t-k v_{в} \Delta t=-m g \Delta t-k \Delta H,
$$
где $k$ – коэффициент пропорциональности в выражении для силы сопротивления воздуха. Когда тело достигнет верхней точки траектории, изменение импульса тела будет равно
$$
-m v_{в 0}=-m g t_{1}-k H. \quad (1)
$$
При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки $A$ изменение импульса составит
$$
m v_{в A}=m g t_{2}-k H. \quad (2)
$$
Складывая $(1)$ и $(2)$, получим
$$
-m \Delta v=m g \tau-2 k H,
$$
где $\tau=t_{2}-t_{1}$, $\Delta v=v_{в 0}-v_{в A}$. Отсюда
$$
H=\frac{m}{k} \frac{g \tau+\Delta v}{2}. \quad (3)
$$
Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали.
Изменение горизонтальной составляющей импульса тела $\Delta v_{г}$ равно импульсу силы сопротивления воздуха:
$$
m \Delta v_{г}=-k v_{г} \Delta t=-k \Delta L,
$$
где $\Delta L$ – малое смещение тела по горизонтали. Когда тело достигает точки $A$, изменение горизонтальной составляющей импульса составит (по модулю)
$$
m v_{г 0}-m v_{г A}=k L_{A}, \quad (4)
$$
где $L_{A}$ – расстояние между точками $A$ и $O$. При максимальном удалении, когда горизонтальная составляющая скорости станет равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно
$$
m v_{г 0}=k L_{\max }. \quad (5)
$$
Вычитая $(4)$ из $(5)$, получаем
$$
\frac{m}{k}=\frac{\Delta L_{0}}{v_{г A}},
$$
где $\Delta L_{0}=L_{\max }-L_{A}$. Следовательно,
$$
H=\frac{\Delta L_{0}}{2 v_{г A}}(g \tau+\Delta v).
$$