Найдите потенциал поля в некоторой точке $A$, расположенной между сферами $1$ и $2$ на расстоянии $r$ от центра сфер в следующих случаях:

а  ^?? ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ разомкнуты;

В случае $а)$ имеем
$$
\varphi_{A 1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{r_{2}}+\frac{q_{3}}{r_{3}}\right).
$$

б  ^?? после замыкания ключа $K_{1}$;

В случае $б)$ поле между сферами $2$ и $3$ отсутствует. На сфере $2$ будет индуцирован заряд, равный $-q_{1}$, заряд $q_{1}+q_{2}$ уйдет на сферу $3$. Из закона сохранения заряда следует, что полный заряд на сфере $3$ будет равен $q_{1}+q_{2}+q_{3}$. Следовательно,
$$
\varphi_{A 2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}}{r}-\frac{q_{1}}{r_{2}}+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{r_{3}}\right).
$$

в  ^?? после замыкания ключа $K_{2}$ при замкнутом ключе $K_{1}$.

В случае $в)$ после заземления сферы $1$ ее потенциал станет равным нулю:
$$
\varphi_{1}=0=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}^{*}+q_{2}+q_{3}}{r_{3}}+\frac{q_{1}^{*}}{r_{1}}-\frac{q_{1}^{*}}{r_{2}}\right), \quad (1)
$$
где $q_{1}^{*}$ – заряд на сфере $1$ после замыкания ключа $K_{2}$. Из соотношения $(1)$ находим
$$
q_{1}^{*}=\frac{q_{2}+q_{3}}{r_{3}}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{3}}\right)^{-1}.
$$
Тогда
$$
\varphi_{A 3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}^{*}}{r}-\frac{q_{1}^{*}}{r_{2}}+\frac{q_{1}^{*}+q_{2}+q_{3}}{r_{3}}\right)= \\
=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{2}+q_{3}}{r_{3}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}\right)\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{3}}\right)^{-1}.
$$