При смещении уровня ртути в каждом колене (см. рисунок) на расстояние $\Delta x$ из-за разности гидростатических давлений возникает сила, равная
$$
F_{1}=2 \rho g S \Delta x.
$$
Воздух в левом колене сжимается, объем воздуха при этом становится равным $(l-\Delta x) S$. По закону Бойля-Мариотта
$$
p_{0} l=\left(p_{0}+\Delta p\right)(l-\Delta x)=p_{0} l-p_{0} \Delta x+\Delta p l-\Delta x \Delta p.
$$
Так как колебания малые, слагаемым $\Delta x \Delta p$ можно пренебречь. Отсюда $\Delta p=\frac{\Delta x}{l} p_{0}$, а сила, действующая со стороны воздуха, $F_{2}=\frac{\Delta x}{l} p_{0} S$. Уравнение движения ртути имеет вид
$$
m a+S\left(2 \rho g+\frac{p_{0}}{l}\right) \Delta x=0.
$$
Это уравнение совпадает с уравнением движения груза на пружинке с эффективной «жесткостью»
$$
k=\left(2 \rho g+\frac{p_{0}}{l}\right) S.
$$
Тогда по аналогии
$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{\left(2 \rho g+p_{0} / l\right) S}} \approx 0.63~с.
$$