Выделяем одно звено цепочки и подсоединяем к нему эквивалентную батарею (см. рисунок ниже).
Напряжение на входе (между точками $A$ и $B$ ) должно быть равно $\mathscr{E}_{0}$, т. е. ЭДС разомкнутой батареи. Следовательно,
$$
\mathscr{E}_{0}=\mathscr{E}+\frac{\mathscr{E}_{0} R}{R+r_{0}}. \quad (1)
$$
Для отыскания $r_{0}$ накоротко замкнем вход $A B$ (см. рисунок ниже).
Тогда сила тока короткого замыкания
$$
i_{1}=\frac{\mathscr{E}_{0}}{r_{0}}.
$$
Найдем силу тока $i_{1}$ из законов Кирхгофа:
$$
\left\{\begin{array}{l}
i_{1} r-i_{2} R=\mathscr{E}, \quad (2)
\\
i_{3} r_{0}+i_{2} R=\mathscr{E}_{0}, \quad (3)
\\
i_{3}=i_{1}+i_{2}. \quad (4)
\end{array}\right.
$$
Из $(4)$ и $(3)$ имеем $\left(i_{1}+i_{2}\right) r_{0}+i_{2} R=\mathscr{E}_{0}$, отсюда $i_{2}\left(r_{0}+R\right)=0$, т. е. $i_{2}=0$. Из $(2)$ находим $i_{1}=\frac{\mathscr{E}}{r}=\frac{\mathscr{E}_{0}}{r_{0}}$; $\mathscr{E}_{0}=\frac{r_{0}}{r} \mathscr{E}$. Подставляем полученное выражение для $\mathscr{E}_{0}$ в $(1)$:
$$
\frac{r_{0}}{r} \mathscr{E}=\mathscr{E}+\frac{R}{R+r_{0}} \frac{r_{0}}{r} \mathscr{E}. \quad (5)
$$
Из $(5)$ получаем квадратное уравнение относительно $r_{0}$:
$$
r_{0}^{2}-r_{0} r-R r=0,
\\
r_{0}=\frac{r}{2}\left(1 \pm \sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right).
$$
Знак «$-$» не подходит, так как тогда $r_{0}<0$. Итак,
$$
r_{0}=\frac{r}{2}\left(1+\sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right)=10~Ом.
\\
\mathscr{E}_{0}=\frac{\mathscr{E}}{2}\left(1+\sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right)=30~В.
$$