Запишем закон сохранения импульса для сталкивающихся частиц:
$$
\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}^{\prime}+\vec{v}_{2}^{\prime}. \qquad (1)
$$Возведя уравнение $(1)$ в квадрат и учитывая закон сохранения энергии, получим
$$
\left(\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right)=\left(\vec{v}_{1}^{\prime}, \vec{v}_{2}^{\prime}\right) \text { или } v_{1} v_{2} \cos \alpha=v_{1}^{\prime} v_{2}^{\prime} \cos \beta.
$$Отсюда $\cos \beta=\frac{v_{1} v_{2}}{v_{1}^{\prime} v_{2}^{\prime}} \cos \alpha$. Угол $\beta$ будет максимальным, когда произведение $v_{1}^{\prime} v_{2}^{\prime}$ максимально. Из закона сохранения энергии следует$$v_{1}^{\prime 2}+v_{2}^{\prime 2}=\mathrm{const}.\qquad(2)$$Изобразим функцию $(2)$ на рисунке.
Из всех прямоугольников с заданным периметром максимальной площадью обладает квадрат. Следовательно, произведение $v_{1}^{\prime} v_{2}^{\prime}$ максимально при $v_{1}^{\prime}=v_{2}^{\prime}$.
Отсюда $\beta_{\max }=\arccos \left(\frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} \cos \alpha\right)$.