Определите:

1  ^?? силы токов, протекающих через батареи $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$ сразу после замыкания ключа $K$;

До замыкания ключа $K$ на конденсаторах были одинаковые разности потенциалов $U_{0}=\mathscr{E}_{1} / 2$ и заряды $q_{0}=C \mathscr{E}_{1} / 2$. Полярность указана на рисунке ниже.

В момент замыкания ключа $K$ заряды конденсаторов и напряжения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляются токи $I$, $I_{1}$ и $I_{2}$ (см. рисунок $1$).

Согласно законам Кирхгофа:
$$
I r=\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}-U_{0} \Rightarrow I=\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}.
$$
Здесь $I$ – ток через $\mathscr{E}_{2}$. Далее
$$
I_{2} r+I r=\mathscr{E}_{2}+U_{0},
\\
I_{2}=-I+\frac{\mathscr{E}_{2}+U_{0}}{r}=-\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}+\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}=0.
$$
Следовательно, $I_{1}=I=\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}$, где $I_{1}$ – ток через $\mathscr{E}_{1}$.

2  ^?? изменение электростатической энергии $\Delta W$ системы после прекращения токов;

Начальная энергия системы $W_{0}=2 G U_{0}^{2} / 2=C \mathscr{E}_{1}^{2} / 4$. В конечном состоянии (т.е. после затухания токов) напряжения на конденсаторах равны $U_{1}=\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}$ и $U_{2}=\mathscr{E}_{2}$. Полярность указана на рисунке $2$.

Энергия системы в конечном состоянии есть:
$$
W=\frac{C \mathscr{E}_{2}^{2}}{2}+\frac{C\left(\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)^{2}}{2}.
$$
Изменение энергии
$$
\Delta W=W-W_{0}=\frac{C}{4}\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right)^{2}.
$$

3  ^?? работы $A_{1}$ и $A_{2}$ батарей $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$ за все время процесса;

До замыкания ключа суммарный заряд на левых обкладках конденсаторов был равен нулю. В конечном состоянии
$$
\left.\begin{array}{l}
q_{1}=C\left(\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}\right),
\\
q_{2}=C \mathscr{E}_{2}
\end{array}\right\} \Rightarrow q=q_{1}+q_{2}=C\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right).
$$Это означает, что через батарею $\mathscr{E}_{2}$ протек заряд $q$ и батарея совершила работу
$$
A_{2}=q \mathscr{E}_{2}=C \mathscr{E}_{2}\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right).
$$Через батарею $\mathscr{E}_{1}$ протек заряд
$$
\Delta q=q_{1}-q_{0}=C\left(\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)-\frac{C \mathscr{E}_{1}}{2}=\frac{C \mathscr{E}_{1}\left(2 \mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)}{2}.
$$Батарея совершила работу
$$
A_{1}=\Delta q \mathscr{E}_{1}=\frac{C\mathscr E_1\left(2 \mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)}{2}.
$$Обе батареи совершили работу $A=A_{1}+A_{2}=\frac{C\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right)^{2}}{2}$.

4  ^?? количество теплоты $Q$, выделившееся на резисторах после замыкания ключа $K$.

По закону сохранения энергии $A=\Delta W+Q$, где $Q$ – выделившееся тепло. Следовательно, $Q=A-\Delta W=\frac{C (\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2})^{2}}{4}$.