В первом эксперименте ускорение $\vec{a}_{1}$ груза и ускорение $\vec{a}_{A}$ шарика $A$ направлены вертикально вверх и равны по модулю, так как длина $L$ нити не меняется.
Пусть масса всех трех шариков равна $M$. По закону сохранения энергии
$$
\frac{m g a_{1} \Delta t^{2}}{2}=\frac{M\left(a_{A} \Delta t\right)^{2}}{2}+\frac{m\left(a_{1} \Delta t\right)^{2}}{2}. \qquad (1)
$$После преобразований $(1)$ получим $m g=M a_{1}+m a_{1}$, откуда
$$
\frac{M}{m}=\frac{g-a_{1}}{a_{1}}. \qquad (2)
$$Во втором эксперименте проекция ускорения $\vec{a}_{A}^{\prime}$ шарика $A$ на вертикальную ось равна ускорению $a_{2}$ шарика массы $m$ (см. рисунок).
$$
a_{A}^{\prime} \sin 60^{\circ}=a_{2} \text { или } a_{A}^{\prime}=\frac{2 a_{2}}{\sqrt{3}}. \qquad (3)
$$По закону сохранения энергии
$$
\frac{m g a_{2} \Delta t^{2}}{2}=\frac{M\left(a_{A}^{\prime} \Delta t\right)^{2}}{2}+\frac{m\left(a_{2} \Delta t\right)^{2}}{2}. \qquad (4)
$$С учетом $(3)$ выражение $(4)$ примет вид
$$
\frac{M}{m}=\frac{3\left(g-a_{2}\right)}{4 a_{2}}. \qquad (5)
$$Приравнивая выражения $(2)$ и $(5)$, получим
$$
a_{2}=\frac{3 g a_{1}}{4 g-a_{1}}.
$$