Воспользуемся законом сохранения энергии системы «источник—конденсатор—брусок». Источник тока совершает работу по увеличению электрической энергии конденсатора и кинетической энергии бруска:
$$
\left(q-q_{0}\right) U=\frac{C U^{2}}{2}-\frac{C_{0} U^{2}}{2}+\frac{m v^{2}}{2}, \qquad (1)
$$где $q$ — заряд конденсатора в текущий момент времени, $q_{0}$ — начальный заряд конденсатора, $m$ — масса бруска, $v$ — текущее значение его скорости.
Поскольку $q=C U$, $q_{0}=C_{0} U$, выражение $(1)$ преобразуем к виду
$$
\frac{\left(C-C_{0}\right) U^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}. \qquad (2)
$$Обозначим через $x$ расстояние, на которое брусок вошел между пластинами конденсатора. Тогда
$$
C-C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1)\left(x-\frac{b}{2}\right) b}{d}. \qquad (3)
$$Подставим $(3)$ в $(2)$:
$$
\left[\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) b U^{2}}{2 d}\right]\left(x-\frac{b}{2}\right)=\frac{m v^{2}}{2}. \qquad (4)
$$Известно, что работа силы $F$ по перемещению $(x-x_{0})$ тела массы $m$ равна изменению кинетической энергии тела:
$$
F (x-x_{0})=\frac{m v^{2}}{2}. \qquad (5)
$$Сравнивая $(4)$ и $(5)$, видим, что на брусок в конденсаторе действует сила $F$, равная выражению в квадратных скобках. Следовательно, ускорение бруска
$$
a=\frac{F}{m}=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2}}{2 b d^{2} \rho}. \qquad (6)
$$Брусок будет двигаться со скоростью
$$
v=a t=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2}}{2 b d^{2} \rho} t
$$до момента времени $\tau=\sqrt{\frac{b}{a}}$, когда брусок полностью втянется в конденсатор и его скорость достигнет максимального значения, равного
$$
v_{\max}=\sqrt{a b}.
$$Затем она будет уменьшаться по линейному закону $v=a(2 \tau-t)$ до момента времени $2 \tau$. После этого все этапы движения повторятся в обратном порядке (см. рисунок).
