1  ^?? Определите силу тока, протекающего через резистор с сопротивлением $R_{1}$.

Из рисунка ясно, что $I_{0}=I_{1}+I_{2}$. Из закона Ома $I_{2} R_{2}-I_{1} R_{1}=\mathscr{E}_{2}$. Отсюда следует, что при $R_{1}=R_{2}=R$
$$
I_{1}=\frac{1}{2}\left(I_{0}-\frac{\mathscr{E}_{2}}{R}\right)=\operatorname{const}.
$$

2  ^?? С какой скоростью движется диэлектрическая пластина?

Согласно закону Ома
$$
I_{1} R_{1}+\frac{q}{C}=\mathscr{E}_{1}, \quad (1)
$$
где $q$ – заряд на конденсаторе, а $C$ – емкость конденсатора с вдвигающейся в него диэлектрической пластиной:
$$
C=C_{0}+C_{0}(\varepsilon-1) \frac{x}{l}. \quad (2)
$$
Из уравнения $(1)$ находим:
$$
\Delta q=\left(\mathscr{E}_{1}-I_{1} R_{1}\right) \Delta C,
$$
или
$$
\Delta q / \Delta t=I_{0}=\left(\mathscr{E}_{1}-I_{1} R_{1}\right) \Delta C / \Delta t=\operatorname{const}; \quad (3)
$$
из уравнения $(2)$
$$
\Delta C / \Delta t=\frac{C_{0}(\varepsilon-1)}{l} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{C_{0}(\varepsilon-1)}{l} v. \quad (4)
$$
Скорость движения пластины, как следует из $(4)$, постоянна: $v=\Delta x / \Delta t=\operatorname{const}$. Подставляя в $(3)$ выражение для силы тока $I_{1}$ и принимая во внимание $(4)$, находим
$$
v=\frac{2 I_{0} l}{\left(2 \mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}-I_{0} R\right) C_{0}(\varepsilon-1)}.
$$