Для положения шарика, когда сила натяжения нити становится равной нулю, имеем (см. рисунок):
$$
-m g \cos \alpha=\frac{m v^{2}}{l}; \quad (1)
$$
здесь $m$ – масса шарика. Запишем закон сохранения энергии для этой же точки:
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}+m g l(1-\cos \alpha). \quad (2)
$$
Из $(1)$ и $(2)$ получаем
$$
\cos \alpha=-\frac{v_{0}^{2}-2 g l}{3 g l}, v^{2}=-g l \cos \alpha.
$$
Далее до точки подвеса шарик летит по параболе:
$$
\left\{\begin{array}{l}
-v \cos \alpha t=x,
\\
y+v \sin \alpha t-\frac{q t^{2}}{2}=0,
\end{array}\right.
$$
где $x=l \sin \alpha$, $y=-l \cos \alpha$.
Тогда
$$
t = \frac{n \sin \alpha + \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha-2 l g \cos \alpha}}{g}
$$
и
$$
t=-\frac{l}{v} \operatorname{tg} \alpha.
$$
Приравнивая друг другу эти выражения и учитывая, что
$$
-g l \cos \alpha=v^{2},
$$
получаем
$$
v \sin \alpha+\sqrt{v^{2} \sin ^{2} \alpha+2 v^{2}}=\frac{v^{2} \sin \alpha}{v \cos ^{2} \alpha}. \quad (3)
$$
Решая уравнение $(3)$, находим $\sin ^{2} \alpha=\frac{2}{3}$, $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx-0.577$,
$$
v_{0}=\sqrt{\lg (2-3 \cos \alpha)} \approx 1.93~м/с.
$$