Logo
Logo

Точно по кругу

Используя данную зависимость, найдите радиусы полуокружностей, по которым сможет распространяться тонкий пучок света при нормальном его падении на плоскую поверхность полуцилиндра.

Если тонкий пучок света распространяется по окружности радиуса $r$, то в любой момент времени проекция волнового фронта пучка (поверхность постоянной фазы) проходит через центр данной окружности. Из этого следует, что оптические пути всех лучей, входящих в состав пучка, должны быть одинаковы, т. е. $r n=\operatorname{const}$. Эквивалентная запись этого соотношения:
$$
\ln \frac{r}{r_{0}}+\ln n=\operatorname{const}, \quad (1)
$$
где $r_{0}=1~см$. Формула $(1)$ описывает семейство прямых на плоскости $\ln \frac{r}{r_{0}}$, $\ln n$, с углом наклона к оси абсцисс, равным $-\frac{\pi}{n}$.
Значение $r$, при которых световой пучок будет распространяться по окружности, определяется точками касания прямых $(1)$ и графической зависимостью $\ln n$ от $\ln \frac{r}{r_{0}}$. Два таких графических решения показаны на рисунке.

Это две точки: $\ln \frac{r_{1}}{r_{0}}=0.27 \pm 0.02$ и $\ln \frac{r_{2}}{r_{0}}=0.54 \pm 0.02$, что соответствует $r_{1}=(1.31 \pm 0.03)~см$ и $r_{2}=(1.7 \pm 0.02)~см$.

Ответ: $$
r_{1}=(1.31 \pm 0.03)~см.
$$
$$
r_{2}=(1.7 \pm 0.02)~см.
$$