Тонкое кольцо массой $m$ и радиусом $r$ находится на столе с коэффициентом трения $\mu$ и гравитационным ускорением $g$. Кольцу сообщили линейную скорость $v$ (в направлении $x$) и угловую скорость $\omega$ (против часовой стрелки). Кольцо движется по прямой, вращаясь вокруг собственной оси, и, в конце концов, останавливается. В дальнейшем мы попытаемся найти величины $v(t)$, $\omega(t)$ и некоторую симметрию между ними. Во всех последующих пунктах предполагается, что действие реакции опоры на кольцо распределено равномерно.
Вам может понадобиться следующая формулa:
$$
\sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{2}} = \Bigg| \sin \left( {\frac{\theta}{2}} - \frac{\pi}{4} \right) \Bigg|
$$
$$
\vec F_{tot} = - \mu mg \cdot f \left( \frac{v(t)}{\omega (t)\ r} \right) \hat x,
$$
где
$$
f(a) = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{a - \sin \theta}{\sqrt{ 1 + a^2 - 2 a \sin \theta}} d \theta
$$
$$
\tau_{tot} = - \mu mg r f \left(\frac{\omega(t) r}{v(t)} \right)
$$
$$
\dot v = - \mu g\cdot f \left( \frac{v}{\omega r} \right) \\
\dot \omega r = - \mu g \cdot f \left( \frac{ \omega r}{v} \right)
$$
Мы получили систему дифференциальных уравнений, связывающие $v(t)$ и $\omega (t)$. В этой части хотим найти интересные физические аспекты этой ситуации, для чего надо произвести нестандартные математические вычисления. Начнём с рассмотрения свойств функции $f(a)$:
a) $ f(0) = 0, \: f(1) = \dfrac{2}{\pi}, \: f(\infty) = 1$
b) $ f(a) $ строго возрастает при $a \geqslant 0 $
a) в некоторый момент $a(t) = 1$
b) в некоторый момент $a(t) < 1$
c) в некоторый момент $a(t) > 1$
Необходимо нарисовать хотя бы одну траекторию на каждый пункт предыдущего задания. Кроме того, нарисуйте траекторию, проходящую через точку $(v_0, 0)$ и еще одну, начинающуюся в точке $(0, \omega_0 r)$
Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории
Рассмотрим мощность, которая расходуется во время движения кольца.
Подсказка: Постарайтесь дать ответ на предыдущий пункт при помощи только $E_0$ и $a_0$ (и других данных из этого пункта), исключив из уравнения $v$ и $\omega$
Система уравнений, которую мы получили в начале задачи называется однородной потому, что система, начинающая движение из точки $(0,0)$ останется в состоянии покоя, то есть в уравнениях нет члена "тока", создающего движение. Введем такой член в одно из уравнений рассмотрев похожую физическую задачу:
То же самое кольцо положим теперь на наклонную плоскость с углом $\alpha$ с тем же коэффициентом трения $\mu$.
a) cоответствующие значения параметров;
b) конечные точки (в которые траектории приходят за конечное или бесконечное время) в плоскости $(v, \omega r)$ . Здесь достаточно написать для каждой составляющей, что она стремится к нулю/ стремится к бесконечности/ равна или стремится к какой-то положительной величине.
Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории