Тонкое кольцо массой $m$ и радиусом $r$ находится на столе с коэффициентом трения $\mu$ и гравитационным ускорением $g$. Кольцу сообщили линейную скорость $v$ (в направлении $x$) и угловую скорость $\omega$ (против часовой стрелки). Кольцо движется по прямой, вращаясь вокруг собственной оси, и, в конце концов, останавливается. В дальнейшем мы попытаемся найти величины $v(t)$, $\omega(t)$ и некоторую симметрию между ними. Во всех последующих пунктах предполагается, что действие реакции опоры на кольцо распределено равномерно.

Вам может понадобиться следующая формулa:
$$
\sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{2}} = \Bigg| \sin \left( {\frac{\theta}{2}} - \frac{\pi}{4} \right) \Bigg|
$$

Уравнения движения

A1  ^0.50 Покажите, что суммарная сила, действующая на кольцо, определяется выражением:
$$
\vec F_{tot} = - \mu mg \cdot f \left( \frac{v(t)}{\omega (t)\ r} \right) \hat x,
$$
где
$$
f(a) = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{a - \sin \theta}{\sqrt{ 1 + a^2 - 2 a \sin \theta}} d \theta
$$

A2  ^0.50 Покажите, что суммарный момент, действующий на кольцо, равен:
$$
\tau_{tot} = - \mu mg r f \left(\frac{\omega(t) r}{v(t)} \right)
$$

A3  ^0.10 Докажите, что уравнения движения имеют вид:
$$
\dot v = - \mu g\cdot f \left( \frac{v}{\omega r} \right) \\
\dot \omega r = - \mu g \cdot f \left( \frac{ \omega r}{v} \right)
$$

Первичное исследование

Мы получили систему дифференциальных уравнений, связывающие $v(t)$ и $\omega (t)$. В этой части хотим найти интересные физические аспекты этой ситуации, для чего надо произвести нестандартные математические вычисления. Начнём с рассмотрения свойств функции $f(a)$:

B1  ^0.50 Докажите:
a) $ f(0) = 0, \: f(1) = \dfrac{2}{\pi}, \: f(\infty) = 1$
b) $ f(a) $ строго возрастает при $a \geqslant 0 $

B2  ^0.30 Рассмотрим поведение параметра $a(t) = \dfrac{v(t)}{\omega (t) r} $. Покажите, что происходит с $a(t)$ (растёт/уменьшается/остаётся неизменным) в каждом из следующих случаев:

a) в некоторый момент $a(t) = 1$

b) в некоторый момент $a(t) < 1$

c) в некоторый момент $a(t) > 1$

B3  ^0.60 Нарисуйте качественно на графике, осями которого являются $v$ и $\omega r$, траектории, отображающие разное движение кольца, то есть при заданных $v_0$ и $\omega_0 r$ нарисуйте, как они будут изменяться с течением времени.

Необходимо нарисовать хотя бы одну траекторию на каждый пункт предыдущего задания. Кроме того, нарисуйте траекторию, проходящую через точку $(v_0, 0)$ и еще одну, начинающуюся в точке $(0, \omega_0 r)$

Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории

Рассмотрим мощность, которая расходуется во время движения кольца.

B4  ^0.10 Вычислите мгновенную мощность, которая расходуется, когда есть только угловая скорость $\omega$ $(v = 0)$, и отдельно, когда присутствует только линейная $v$ $(\omega = 0)$.

B5  ^0.60 Для заданных $v$ и $\omega$ вычислите мгновенную мощность $P$, которая расходуется на трение в данный момент времени. Дайте ответ в виде интеграла с безразмерной переменной.

B6  ^1.20 Предположим, что кольцу придали определённую начальную кинетическую энергию $E_0$. Каково должно быть соотношение $a_0 = \dfrac{v_0}{\omega_0 r}$, при котором кольцо будет двигаться максимальное время?

Подсказка: Постарайтесь дать ответ на предыдущий пункт при помощи только $E_0$ и $a_0$ (и других данных из этого пункта), исключив из уравнения $v$ и $\omega$

B7  ^0.50 Каково максимальное время движения при начальной энергии $E_0$?

Неоднородная система

Система уравнений, которую мы получили в начале задачи называется однородной потому, что система, начинающая движение из точки $(0,0)$ останется в состоянии покоя, то есть в уравнениях нет члена "тока", создающего движение. Введем такой член в одно из уравнений рассмотрев похожую физическую задачу:

То же самое кольцо положим теперь на наклонную плоскость с углом $\alpha$ с тем же коэффициентом трения $\mu$.

C1  ^0.60 Напишите заново уравнения движения из пункта А3 таким образом, чтобы они подходили под новое условие.

C2  ^2.00 При заданных начальных $\omega_0$ и $v_0 = 0$ нарисуйте все возможные семейства траекторий движения кольца в координатах $(v, \omega r)$ (для каждого типа кривых нарисуйте свой график). Укажите следующие составляющие:

a) cоответствующие значения параметров;

b) конечные точки (в которые траектории приходят за конечное или бесконечное время) в плоскости $(v, \omega r)$ . Здесь достаточно написать для каждой составляющей, что она стремится к нулю/ стремится к бесконечности/ равна или стремится к какой-то положительной величине.

Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории