Тонкое кольцо массой $m$ и радиусом $r$ находится на столе с коэффициентом трения $\mu$ и гравитационным ускорением $g$. Кольцу сообщили линейную скорость $v$ (в направлении $x$) и угловую скорость $\omega$ (против часовой стрелки). Кольцо движется по прямой, вращаясь вокруг собственной оси, и, в конце концов, останавливается. В дальнейшем мы попытаемся найти величины $v(t)$, $\omega(t)$ и некоторую симметрию между ними. Во всех последующих пунктах предполагается, что действие реакции опоры на кольцо распределено равномерно.
Вам может понадобиться следующая формулa: $$ \sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{2}} = \Bigg| \sin \left( {\frac{\theta}{2}} - \frac{\pi}{4} \right) \Bigg| $$
Мы получили систему дифференциальных уравнений, связывающие $v(t)$ и $\omega (t)$. В этой части хотим найти интересные физические аспекты этой ситуации, для чего надо произвести нестандартные математические вычисления. Начнём с рассмотрения свойств функции $f(a)$:
B3 0.60 Нарисуйте качественно на графике, осями которого являются $v$ и $\omega r$, траектории, отображающие разное движение кольца, то есть при заданных $v_0$ и $\omega_0 r$ нарисуйте, как они будут изменяться с течением времени. Необходимо нарисовать хотя бы одну траекторию на каждый пункт предыдущего задания. Кроме того, нарисуйте траекторию, проходящую через точку $(v_0, 0)$ и еще одну, начинающуюся в точке $(0, \omega_0 r)$ Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории
Рассмотрим мощность, которая расходуется во время движения кольца.
B6 1.20 Предположим, что кольцу придали определённую начальную кинетическую энергию $E_0$. Каково должно быть соотношение $a_0 = \dfrac{v_0}{\omega_0 r}$, при котором кольцо будет двигаться максимальное время? Подсказка: Постарайтесь дать ответ на предыдущий пункт при помощи только $E_0$ и $a_0$ (и других данных из этого пункта), исключив из уравнения $v$ и $\omega$
Система уравнений, которую мы получили в начале задачи называется однородной потому, что система, начинающая движение из точки $(0,0)$ останется в состоянии покоя, то есть в уравнениях нет члена "тока", создающего движение. Введем такой член в одно из уравнений рассмотрев похожую физическую задачу: То же самое кольцо положим теперь на наклонную плоскость с углом $\alpha$ с тем же коэффициентом трения $\mu$.
C2 2.00 При заданных начальных $\omega_0$ и $v_0 = 0$ нарисуйте все возможные семейства траекторий движения кольца в координатах $(v, \omega r)$ (для каждого типа кривых нарисуйте свой график). Укажите следующие составляющие: a) cоответствующие значения параметров; b) конечные точки (в которые траектории приходят за конечное или бесконечное время) в плоскости $(v, \omega r)$ . Здесь достаточно написать для каждой составляющей, что она стремится к нулю/ стремится к бесконечности/ равна или стремится к какой-то положительной величине. Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории