A1  ^0.50 Покажите, что суммарная сила, действующая на кольцо, определяется выражением:
$$
\vec F_{tot} = - \mu mg \cdot f \left( \frac{v(t)}{\omega (t)\ r} \right) \hat x,
$$
где
$$
f(a) = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{a - \sin \theta}{\sqrt{ 1 + a^2 - 2 a \sin \theta}} d \theta
$$

A1. 1 Кольцо корректно разбито на малые кусочки и используется интегрирование.	0.10
A1. 2 Доказано, что $F_y = 0$	0.20
A1. 3 $$ \vec F_{tot} = - \mu mg \cdot \frac{1}{2 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{v - \omega r\sin \theta}{\sqrt{ v^2 + (\omega r)^2 - 2 v \: \omega r \sin \theta}} d \theta $$	0.20

A2  ^0.50 Покажите, что суммарный момент, действующий на кольцо, равен:
$$
\tau_{tot} = - \mu mg r f \left(\frac{\omega(t) r}{v(t)} \right)
$$

A2. 1 Кольцо корректно разбито на малые кусочки и используется интегрирование.	0.10
A2. 2 $$ \vec \tau = - \mu m g r\int \limits_0^{2 \pi} \frac{\omega r-v \sin \theta }{\sqrt{v^2 + (\omega r)^2 - 2 v \omega r \sin \theta}} \: \frac{d \theta}{2 \pi}, $$	0.40

A3  ^0.10 Докажите, что уравнения движения имеют вид:
$$
\dot v = - \mu g\cdot f \left( \frac{v}{\omega r} \right) \\
\dot \omega r = - \mu g \cdot f \left( \frac{ \omega r}{v} \right)
$$

A3. 1 Записан второй закон Ньютона	0.05
A3. 2 Записано уравнение моментов для вращательного движения	0.05

B1  ^0.50 Докажите:
a) $ f(0) = 0, \: f(1) = \dfrac{2}{\pi}, \: f(\infty) = 1$
b) $ f(a) $ строго возрастает при $a \geqslant 0 $

B1. 1 Взяты соответствующие интегралы $f(0)$, $f(1)$ и $f(\infty)$.	3 × 0.10
B1. 2 Корректно доказано возрастание (например, через производную)	0.20

B2  ^0.30 Рассмотрим поведение параметра $a(t) = \dfrac{v(t)}{\omega (t) r} $. Покажите, что происходит с $a(t)$ (растёт/уменьшается/остаётся неизменным) в каждом из следующих случаев:

a) в некоторый момент $a(t) = 1$

b) в некоторый момент $a(t) < 1$

c) в некоторый момент $a(t) > 1$

B2. 1 Взята производная $\dot a$ или другим способом доказано, что система асимптотически стремится к $a \rightarrow 1$	0.15
B2. 2 Получены верные ответы	3 × 0.05

B3  ^0.60 Нарисуйте качественно на графике, осями которого являются $v$ и $\omega r$, траектории, отображающие разное движение кольца, то есть при заданных $v_0$ и $\omega_0 r$ нарисуйте, как они будут изменяться с течением времени.

Необходимо нарисовать хотя бы одну траекторию на каждый пункт предыдущего задания. Кроме того, нарисуйте траекторию, проходящую через точку $(v_0, 0)$ и еще одну, начинающуюся в точке $(0, \omega_0 r)$

Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории

B3. 1 На графике присутствует прямая $a =1$	0.20
B3. 2 Траектории асимптотически стремятся к $a = 1$	0.20
B3. 3 Указаны верные направления движения	0.20

B4  ^0.10 Вычислите мгновенную мощность, которая расходуется, когда есть только угловая скорость $\omega$ $(v = 0)$, и отдельно, когда присутствует только линейная $v$ $(\omega = 0)$.

B4. 1 Получены верные ответы $$ P_v = - \mu mg \: v \\ P_\omega = - \mu mg \: \omega r $$

2 × 0.05

B5  ^0.60 Для заданных $v$ и $\omega$ вычислите мгновенную мощность $P$, которая расходуется на трение в данный момент времени. Дайте ответ в виде интеграла с безразмерной переменной.

B5. 1 Корректно используется идея разбиения системы на малые кусочки и выполняется интегрирование мощности по ним	0.10
B5. 2 Получен верный ответ $$ P = - \mu mg \: \omega r \int \limits_0^{2 \pi} \sqrt{1+\left(\frac{v}{\omega r} \right)^2 - 2 \left(\frac{v}{\omega r} \right) \sin (\theta)} \: \:\frac{d \theta }{2 \pi} $$	0.50

B6  ^1.20 Предположим, что кольцу придали определённую начальную кинетическую энергию $E_0$. Каково должно быть соотношение $a_0 = \dfrac{v_0}{\omega_0 r}$, при котором кольцо будет двигаться максимальное время?

Подсказка: Постарайтесь дать ответ на предыдущий пункт при помощи только $E_0$ и $a_0$ (и других данных из этого пункта), исключив из уравнения $v$ и $\omega$

B6. 0 Показано, что в точке $a_0 = 1$ достигается экстремум мощности	0.50
B6. 2 Доказано, что минимальная мощность при заданной энергии достигается при $$ P_{min}(E_0) = P(1, E_0) $$	0.50
B6. 3 Указан тот факт, что при $a_0 = 1$ в дальнейшем движении $a = a_0$	0.20

B7  ^0.50 Каково максимальное время движения при начальной энергии $E_0$?

B7. 1 В уравнении для мощности разделены переменные и проведено интегрирование	0.10
B7. 2 Получен верный ответ $$ \tau = \frac{\pi}{2 \mu g} \sqrt{\frac{E_0}{m}} $$	0.40

C1  ^0.60 Напишите заново уравнения движения из пункта А3 таким образом, чтобы они подходили под новое условие.

C1. 1 Получены следующие уравнения движения (или аналогичные): $$ \dot v = -\mu g \: f\left( \frac{v}{\omega r}\right) \cos{\alpha} + g \sin{\alpha} \cos{\varphi} \\ \dot \omega r = - \mu g \: f \left(\frac{\omega r}{v} \right) \cos \alpha $$	2 × 0.30
C1. 2 В законе Ньютона забыт $\cos \varphi$	-0.20

C2  ^2.00 При заданных начальных $\omega_0$ и $v_0 = 0$ нарисуйте все возможные семейства траекторий движения кольца в координатах $(v, \omega r)$ (для каждого типа кривых нарисуйте свой график). Укажите следующие составляющие:

a) cоответствующие значения параметров;

b) конечные точки (в которые траектории приходят за конечное или бесконечное время) в плоскости $(v, \omega r)$ . Здесь достаточно написать для каждой составляющей, что она стремится к нулю/ стремится к бесконечности/ равна или стремится к какой-то положительной величине.

Подпишите оси графика и укажите направления движения системы для каждой нарисованной траектории

C2. 1 Верно проанализированы $\dot v$ и $\dot \omega r$ для различных $\tan \alpha$.	0.50
C2. 2 Для всех случаев верно указаны конечные точки траекторий и направления движения	3 × 0.50