Пусть $е$ и $m$ – соответственно заряд и масса электрона, $\Delta v$ – изменение скорости электрона в результате пролета сквозь сетки.
За счет совершения работы электрическим полем над электроном изменяется его кинетическая энергия: $e U_{0} \sin \omega t=m v_{0} \Delta v$. Отсюда
$$
\Delta v=\frac{e U_{0}}{m v_{0}} \sin \omega t=u_{0} \sin \omega t,
$$
где $u_{0}=\frac{e U_{0}}{m v_{0}}=\frac{\gamma U_{0}}{v_{0}}$.
Перейдем в систему отсчета $K$, движущуюся со скоростью $v_{0}$ в направлении движения электронов. Начало координат системы $K$ свяжем с теми электронами, которые проходят сквозь сетки в те моменты, когда под действием электрического поля их ускорение меняет знак (sin $\omega t=0)$. Направим ось $X$ этой системы по направлению ее движения. В $K$-системе электроны, прошедшие сквозь сетки, будут иметь различную скорость в зависимости от координаты $x$. Скорость изменяется от $-u_{0}$ до $u_{0}$ с пространственным периодом $H=v_{0} 2 \pi / \omega$ по закону $u=-u_{0} \sin (x \omega / v_{0})$. В точках с координатами $X=0$, $\pm H$, $\pm 2 H$, $\pm 3 H$, $\ldots$ электроны неподвижны. Электроны, скорость которых отлична от нуля, будут приближаться к неподвижным электронам, причем более быстрые электроны будут догонять более медленные. Таким образом, вблизи точек, где электроны неподвижны, концентрация электронов будет увеличиваться и начнут образовываться электронные сгустки. В этих областях, т.е. там, где $u$ близко к нулю, $u \approx-u_{0} x \omega / v_{0}$. Получилось, что скорость электронов, ближайших к областям сгущения, пропорциональна расстоянию от них до этих точек. Это означает, что эти электроны попадут в области сгущения почти одновременно через время $t_{0}=x /|u|=v_{0} / u_{0} \omega$ после пролета сквозь сетки. Таким образом, можно приближенно считать, что сгустки появятся на расстоянии $L=v_{0} t_{0}=\frac{v_{0}^{2}}{u_{0} \omega}=\frac{v_{0}^{3}}{\gamma \omega U_{0}}$ от сеток.