Коэффициент полезного действия цикла $\eta$ равен отношению полезной работы, совершенной рабочим веществом, к суммарному количеству теплоты, подведенной к рабочему веществу за термодинамический цикл (см. рисунок).
В нашем случае полезная работа
$$
A=A_{12}-A_{31}=A_{12}-\frac{A_{12}}{m}=A_{12} \frac{m-1}{m},
$$
где $A_{12}$ – работа рабочего вещества на изобаре $1-2$, a $A_{31}$ – работа, совершенная над рабочим веществом на адиабате $3-1$.
В рассматриваемом цикле тепло $Q_{1}$ подводится к рабочему веществу только на изобарическом участке цикла:
$$
Q_{1}=\Delta U_{12}+A_{12}, \quad (1)
$$
где $\Delta U_{12}$ – изменение внутренней энергии рабочего вещества на участке $1-2$. Используя заданную связь внутренней энергии $U$ рабочего вещества с давлением и объемом, запишем
$$
\Delta U_{12}=k p \Delta V=k A_{12}.
$$
После подстановки этого выражения в $(1)$ получим
$$
Q_{1}=(k+1) A_{12}.
$$
Тогда
$$
\eta=\frac{A}{Q_{1}}=\frac{(m-1)}{m(k+1)}.
$$
Отсюда
$$
k=\frac{m-\eta m-1}{\eta m}=2.2.
$$