Направим ось $x$ от нижней пластины, температура которой $T_{1}$, к верхней, температура которой $T_{2}$. Распределение температуры между пластинами можно записать в виде:
$$
T(x)=T_{1}-\frac{T_{1}-T_{2}}{l} x. \quad (1)
$$
Запишем теперь распределение давления воздуха между пластинами:
$$
p(x) \approx p_{0}-\rho g x=p_{0}-\frac{\mu p g}{R T} x, \quad (2)
$$
где $p_{0}$ – давление воздуха у нижней пластины $(x=0)$, $\rho$ – средняя плотность воздуха между пластинами, $g$ – ускорение свободного падения. В последнем равенстве средняя плотность $\rho$ выражена через среднее значение давления $p$ и среднюю температуру $T$.
Уравнения $(1)$ и $(2)$ описывают стационарное состояние воздуха между пластинами. Пусть теперь небольшой объем воздуха, находящийся у нижней пластины, начнет всплывать. Это обязательно произойдет, поскольку плотность воздуха верхних слоев больше. В некоторый момент времени всплывающий объем воздуха поднимется на высоту $x$. Допустим, что подъем происходит адиабатически, т.е. теплообменом этого объема с внешней средой можно пренебречь. Попробуем оценить, на сколько понизится температура воздуха во всплывающем объеме. Поскольку процесс всплытия адиабатический, то работа, совершаемая воздухом этого объема равна уменьшению его внутренней энергии:
$$
p d V=-\nu C_{V} d T, \quad (3)
$$
где $\nu$ – число молей всплывающего воздуха, $C_{V}$ – молярная теплоемкость, а $d V$ и $d T$ – малые изменения объема и температуры.
С другой стороны, согласно уравнению состояния идеального газа запишем
$$
\frac{p V}{T}=\operatorname{const}.
$$
Прологарифмируем это выражение:
$$
\ln p+\ln V-\ln T=\operatorname{const},
$$
а затем продифференцируем:
$$
d(\ln p+\ln V-\ln T)=\frac{d p}{p}+\frac{d V}{V}-\frac{d T}{T}=0. \quad (4)
$$
Теперь выразим приращение объема $d V$ из соотношения $(3)$ и подставим в $(4)$:
$$
\frac{d p}{p}-\frac{\nu C_{V} d T}{p V}-\frac{d T}{T}=0.
$$
Отсюда
$$
d T=\frac{V d p}{\nu (C_{V}+R)}=\frac{R T d p}{p(C_{V}+R)}.
$$
Поскольку
$$
d p=-\frac{\mu p g}{R T} x,
$$
как это следует из $(2)$, то изменение температуры воздуха, всплывающего на высоту $x$, равна
$$
d T=-\frac{\mu g x}{C_{V}+R}.
$$
Очевидно, что конвекция начнется в том случае, если понижение температуры всплывающего объема воздуха будет меньше уменьшения температуры окружающего воздуха, связанного с распределением $(1)$. Это означает, что если температура поднявшегося воздуха на высоту $x$ окажется больше температуры внешнего воздуха на этом уровне, то конвективный поток будет подниматься дальше.
Аналитическая запись этого условия имеет вид:
$$
\frac{T_{1}-T_{2}}{l} x>\frac{\mu g}{C_{V}+R} x.
$$
Отсюда
$$
T_{1}-T_{2}>\frac{\mu g l}{C_{V}+R}.
$$