1  ^?? Определите отношение $\left(I_{1} / I_{2}\right)$ силы тока, протекающего в кольце, когда оно находится в положении $1$, к силе тока в кольце, когда оно находится в положении $2$.

При внесении кольца в магнитное поле в нем возникают две ЭДС индукции, направленные навстречу друг другу: одна ЭДС вызвана пересечением кольцом линий индукции внешнего магнитного поля, а другая – ЭДС самоиндукции, обусловленная изменяющимся во времени током, текущим по кольцу. Поскольку сопротивление кольца равно нулю, то суммарная ЭДС в кольце равна нулю.
$$
\mathscr{E}=\frac{d \Phi}{d t}-L \frac{d I}{d t}=0.
$$
Здесь $\Phi$ – внешний магнитный поток, $L$ – индуктивность кольца, $I$ – сила тока в кольце.
При перемещении кольца из удаленной точки в положение $1$ в кольце возникает ток $I_{1}$, равный
$$
I_{1}=\frac{\Phi_{1}}{L},
$$
где $\Phi_{1}$ – магнитный поток, пронизывающий кольцо в положении $1$. Аналогично для положения $2$:
$$
I_{2}=\frac{\Phi_{2}}{L}.
$$
Теперь находим отношение сил токов:
$$
\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{\Phi_{1}}{\Phi_{2}}.
$$
Магнитный поток через кольцо пропорционален количеству линий индукции магнитного поля, пронизывающих кольцо. Очевидно, что это количество $N$ линий будет пропорционально квадрату числа $n$ линий, распределенных по диаметру кольца:
$$
\Phi_{1} \sim n_{1}^{2}, \quad \Phi_{2} \sim n_{2}^{2}.
$$
Из рисунка линий индукции внешнего магнитного поля найдем, что $n_{1}=5$, а $n_{2}=9$. Поэтому
$$
\frac{I_{1}}{I_{2}}=\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^{2} \approx 0.35.
$$

2  ^?? Определите соотношение сил $\left(F_{1} / F_{2}\right)$, действующих на кольцо в обоих положениях, и укажите направление действия этих сил.

Результирующая сила, действующая на кольцо, направлена вдоль оси $z$ (см. рисунок).

Ток в кольце течет против часовой стрелки, если смотреть на кольцо слева от него. Сила $F_{z}$, действующая на кольцо, пропорциональна силе тока $I$ в нем, индукции $B$ магнитного поля на окружности кольца и синусу угла $\alpha$ между направлением вектора $\vec{B}$ и осью $z$:
$$
F_{z} \sim I B \sin \alpha.
$$
Индукция $B$ пропорциональна густоте силовых линий, т.е.
$$
B \sim \frac{1}{a^{2}},
$$
где $a$ – расстояние между двумя соседними линиями индукции.
Из рисунка находим
$$
\sin \alpha \approx \frac{a}{b}.
$$
Следовательно, сила, действующая на кольцо,
$$
F_{z} \sim \frac{1}{a^{2}} \frac{a}{b} I=\frac{I}{a b}.
$$
Отношение сил для двух положений $1$ и $2$ кольца равно
$$
\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{I_{1}}{I_{2}} \frac{a_{2} b_{2}}{a_{1} b_{1}} \approx 0.05.
$$