Через какое время после замыкания ключа $K$ колебания в контуре прекратятся и установится стационарный режим?

Рассмотрим интервал времени после замыкания ключа $K$, когда ток течет через нижний диод. Уравнение для напряжения $U_{C}$ на конденсаторе: $U_{C}=U_{п}+U_{L}$ или, с учетом того что $U_{L}=-L \frac{d J}{d t}$, и $J=\frac{d q}{d t}=C \frac{d U_{C}}{d t}$, $\frac{d^{2} U_{C}}{d t^{2}}+\frac{1}{L C} U_{C}=\frac{1}{L C} U_{п}$.
Из этого уравнения видно, что напряжение на конденсаторе будет меняться по гармоническому закону с частотой $\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}}$. Из энергетических соображений найдем экстремальные значения напряжений $U_{Э}$на конденсаторе:
$$
\frac{C U_{0}^{2}}{2}=C (U_{0}-U_{Э}) U_{п}+\frac{C U_{Э}^{2}}{2}.
$$
Это уравнение имеет два корня:
$$
U_{Э 1}=U_{0}, U_{Э 2}=-(U_{0}-2 U_{п})
$$
Зависимость $U_{C}(t)$ будет иметь вид:
$$
U_{C}(t)=(U_{0}-U_{п}) \cos (\omega_{0} t)+U_{п}
$$
при $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$, где $T=2 \pi \sqrt{L C}$ — период колебаний. После $n$ полупериодов напряжение на конденсаторе
$$
U_{C п}=(-1)^{n} (U_{0}-2 n U_{п})(n=1,2,3, \ldots).
$$
Очевидно, что колебания в контуре прекратятся, когда
$$
|U_{C п}|<|U_{п}|.
$$
В нашем случае $n=3$, поэтому время установления стационарного режима
$$
\tau=3 \pi \sqrt{L C}=9.42 \cdot 10^{-3}~с.
$$

Чему будет равно установившееся (остаточное) напряжение на конденсаторе?

Остаточное напряжение на конденсаторе
$$
U_{C}=-0.3~B.
$$

Постройте график зависимости напряжения $U_{с}$ на конденсаторе от времени.

График $U_{C}(t)$ представлен на рисунке.
$\textit{Примечание}$. Эта задача аналогична механической задаче о колебании груза на пружине при наличии сухого трения.