В стационарном режиме сила тока через катушку индуктивности $L_{1}$ равна
$$
I_{10}=\mathscr{E} /(R+r).
$$
После замыкания ключа $K_{2}$ сила тока $I_{2}$ через катушку индуктивности $L_{2}$ возрастает от нуля до $I_{20}=\mathscr{E} / r$, а сила тока $I_{1}$ через катушку $L_{1}$ убывает от $I_{10}$ до нуля. При этом за любой малый интервал времени $\Delta t$
$$
I_{1} R+L_{1} \Delta I_{1} / \Delta t=L_{2} \Delta I_{2} / \Delta t.
$$
Так как $I_{1} \Delta t=\Delta q$ – заряд, протекающий за время $\Delta t$ через сопротивление $R$, то
$$
R \Delta q+L_{1} \Delta I_{1}=L_{2} \Delta I_{2}.
$$
За все время после замыкания ключа $K_{2}$ через резистор протек суммарный заряд $\sum \Delta q=q$. Кроме того
$$
\sum \Delta I_{1}=-I_{10}, \quad \sum \Delta I_{2}=I_{20}.
$$
Поэтому окончательно
$$
q=\frac{\mathscr{E}}{R} \left(\frac{L_{1}}{R+r}+\frac{L_{2}}{r}\right).
$$