Найдите (укажите координаты) внутри горизонтально расположенной трубы радиуса $R$ (см. рисунок) хотя бы одну точку $C$, не лежащую на вертикальном диаметре $A B$, со следующим свойством: небольшой шарик, отпущенный из точки $C$ без начальной скорости, возвращается в точку $C$ после трех упругих ударов о стенку трубы.

Из принципа обратимости механического движения следует, что шарик после второго удара должен лететь назад по прежней траектории. Для этого в точке $D$ (см. рисунок) он должен удариться, имея скорость, перпендикулярную поверхности трубы.

Попробуем подобрать такой угол $\alpha$, чтобы касательная в точке $K$ была параллельна $O D$. Возьмем точку $C$ на продолжении $О D$. Движение шарика вдоль оси $x$ происходит с ускорением $g \sin \alpha$, а вдоль оси $y$ – с ускорением $g \cos \alpha$. исходя из этого можно показать, что точка $C$ – искомая точка. При этом
$$
\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{3}, O C=\frac{R}{3}.
$$
Получаем ответ: точка находится на расстоянии $O C=\frac{R}{3}$ от центра трубы (выше центра) на прямой, проходящей через центр трубы под углом $\alpha=\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$ к горизонту.

Определите время $t$, за которое это произойдет.

Из уравнения движения определяем время движения шарика:
$$
t=4 \sqrt{\frac{2 \sqrt{10}}{3} \frac{R}{g}}.
$$