Рассмотрим классическую механическую систему с некоторым параметром $\lambda$, который может медленно меняться с течением времени. Если движение системы периодическое с периодом $T$, изменение параметра можно считать медленным при условии
$$
T\frac{d\lambda}{dt}\ll{\lambda}.
$$
В общем случае по временем $T$ можно понимать характерное время процессов, протекающих в системе.
Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении параметров системы. Можно доказать, что адиабатическим инвариантом является величина
$$
I=\frac{1}{2\pi}\oint pdq.
$$
Здесь $p$ — одна из проекций импульса системы, $q$ — соответствующая координата.
Если изобразить периодическое движение частицы в координатах $p$, $q$, при периодическом движении получим замкнутую кривую. Тогда интеграл в определении $I$ равен площади, ограниченной этой кривой.
По гладкой горизонтальной спице между двумя вертикальными стенками может скользить бусинка массы $m$. Все удары бусинки со стенками абсолютно упругие. Одна стенка неподвижна, а вторая стенка движется по направлению к первой со скоростью $u$, удовлетворяющей соотношению $u\ll{v}$, где $v$ - скорость бусинки. Начальное расстояние между стенками равняется $L_0$, начальная скорость бусинки $v_0$.
Данная часть задачи является фактическим продолжением предыдущей. Отличие состоит в том, что теперь на лёгкую частицу массы $m$, движущуюся со скоростью $v_0$ налетает со скоростью $u\ll{v_0}$ частица массы $M\gg{m}$. С другой стороны по-прежнему неподвижная стенка. Начальное расстояние между частицами равнялось $L_0$. Известно, что в процессе движения максимальная скорость легкой частицы равнялась $kv_0$. Массы частиц не даны!
В данной части рассматривается упрощённая модель иона ${H_2}^+$. Две частицы массы $M$ и находящаяся между ними частица массы $m\ll{M}$ могут двигаться по гладкой горизонтальной спице. Лёгкая частица притягивается к тяжёлым с постоянными силами $F$. В момент, когда расстояние между тяжёлыми частицами равнялось $L_0$, скорость лёгкой частицы в системе отсчета центра масс двух тяжелых частиц равняется $v_0$. Вам предлагается исследовать положение равновесия данной системы, а также найти частоту её малых колебаний вблизи него. Обозначим расстояние между тяжелыми частицами за $x$.
По гладкой горизонтальной поверхности ограниченной вертикальными стенками может свободно двигаться маленькая шайба. Стенки ограничивают часть поверхности в форме эллипса с большой и малой полуосями $a$ и $b$ соответственно. В положении с координатами $(r;0)$ шайбе сообщили скорость, проекции которой равны $v_x=v_0\sin\alpha; v_y=v_0\cos\alpha$, причём $r\ll{a,b}$, $\alpha\ll{1}$. От вас потребуется в первом приближении по этим малым параметрам описать движение шайбы.
К гладкой наклонной плоскости привязан математический маятник, совершающий малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. В этой части задачи вам предлагается исследовать, как изменяется амплитуда колебаний маятника с изменением угла наклона плоскости, а также длины маятника. В начальный момент амплитуда колебаний (измеряется угол отклонения маятника от положения равновесия) равна $\varphi_0 \ll 1$, длина маятника равна $L_0$, а угол наклона плоскости равен $\alpha_0$.
Рассмотрим кольцо массы $M$,равномерно заряженное по периметру зарядом $q$, помещённое в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Кольцо раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\vec{\omega}$ и отпустили. Угол между векторами магнитной индукции и угловой скорости вращения кольца в начальный момент равен ${\alpha_0}$.
Примечание: Магнитный момент системы зарядов можно вычислить по формуле
$$\vec{m}=\int\frac{[\vec{r}\times\vec{v}]}{2}dq
$$
Одним из методов удержания частиц в магнитной ловушке в продольном (по полю) направлении состоит в использовании магнитных пробок, или магнитных зеркал, — областей, в которых напряжённость магнитного поля сильно (но плавно) возрастает. Такие области могут отражать налетающие на них вдоль силовых линий заряженные частицы. При движении заряженной частицы в "зеркальной" магнитной ловушке радиус траектории частицы уменьшается при продвижении в область сильного поля. В рамках двух последних частей мы изучим движение в таких полях.
Для магнитных зеркал определим коэффициент зеркальности $r_m$
$$r_m=\frac{B_{max}}{B_{min}}
$$
Во всех пунктах считайте, что траектории частиц представляют собой медленно изменяющиеся спирали с малым углом наклона, ведущие центры которых совпадают с силовыми линиями магнитного поля. Введём также компоненты скорости $v_{||}$ и $v_\perp$ ($v_{||}\ll v_{\perp}$), обозначающие компоненты скорости частицы, направленные вдоль и перпендикулярно направлению магнитного поля соответственно.
Перейдём к неоднородному магнитному полю. Поскольку ведущий центр траектории электрона перемещается вдоль силовой линии. Будем считать, что магнитное поле изменяется только в данном направлении.
Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле.
Мы изучили движение в неоднородных магнитных полях и готовы перейти к исследованию задачи о магнитных зеркалах. Схема, используемая для их реализации, представлена на рисунке. Она представляет собой два соосных витка одинакового радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $2H\gg{R}$ друг от друга. По виткам протекают токи одинаковой силы $I$ в одном направлении. витки помещены в область большого однородного магнитного поля с индукцией $B_0$, направленного вдоль их осей. Целью данной задачи является исследование силовых линий такой системы и, как следствие, описание траектории ведущего центра орбиты электронов.