A1  ^0.40 Определите начальную температуру сосуда №1 ($T_{10}$).

Если $T_{20}$ больше $T_{10}$, то $T_{2}$ будет падать, если $T_{20}$ меньше $T_{10}$ - будет расти. Таким образом можно численным методом определить $T_{10}$. $T_{10} = 15^\circ C$

A2  ^3.60 Постройте график зависимости теплоемкости сосуда №1 от его температуры.

Исследуем зависимость конечной $T_{2}$ от $T_{20}$. Мы получим кусочно-линейный график. При повышении $T_{20}$ мы можем увидеть, как себя будет вести $C_1$: Малое изменение $dT_{20}$ можно рассматривать, как добавление в систему энергии $С_{2}dT_{20}$, которая равномерно распределяется между 1-м и 2-м телами: $(С_{1}+С_{2})dT_{2кон}$, отсюда: $$С_{1} = С_{2}\cdot(\frac{dT_{2кон}}{dT_{20}})^{-1}-1)$$

Из этого графика, можно сделать следующие выводы:
1.) При температуре $22.5^\circ C$ происходит некий фазовый переход. Теплота необходимая для полного осуществления перехода равна $С_{2}\Delta T_2 = 40 Дж$
2.) При температуре ниже $22.5^\circ C$ теплоёмкость $С_{1} = 0.6 \frac{кДж}{К}$
3.) При температуре ниже $22.5^\circ C$ теплоёмкость $С_{1} = 1.4 \frac{кДж}{К}$

A3  ^3.00 За какое время температура сосуда №1 увеличится от $T_{10}$ до $T_{10}+20^\circ\mathrm{C}$, если вместо сосуда №2 присоединить трубку к сосуду с постоянной температурой $100^\circ\mathrm{C}$?

Определим коэффициент теплопроводности $\alpha$. Для этого исследуем зависимость $T_{2}$ при $T_{20}<T_{перехода}$. Тогда:
$$T_1 = T_{10}+\frac{C_2}{C_1}\cdot (T_{20}-T_1)$$
$$\alpha\cdot \frac{C_2+C_1}{C_1}\cdot T_2 - (T_{10}+ \frac{C_2}{C_1}\cdot T_{20}) = C_2 \cdot \frac{dT_2}{d\tau}$$
$$T_2 - \frac{C_2T_{20}+C_1T_{10}}{C_2 + C_1}=(T_{20} - \frac{C_2T_{20}+C_1T_{10}}{C_2 + C_1})\cdot e^{-\frac{\alpha(C_2+C_1)}{C_1+C_2}\tau} $$
$$\alpha\frac{(C_2+C_1)}{C_1+C_2}\tau = \ln(\frac{T_{20} - \frac{C_2T_{20}+C_1T_{10}}{C_2 + C_1}}{T_{2} - \frac{C_2T_{20}+C_1T_{10}}{C_2 + C_1}})$$ Из данной зависимости можно определить $\alpha = 0.1 \frac{кДж}{К\cdot мин}$.

При нагревании первого тела от $15^\circ C$ до $35^\circ C$ первое тело проходит 3 стадии: Нагревание до фазового перехода, нагревание после фазового перехода и фазовый переход. Определим $\tau_i$:
1.) Используем формулу, описанную выше, подставив туда $C_2 = \infty , С_{1} = 0.6 \frac{Дж}{К}$ $\tau_1 = 0.55 \space мин$
2.) Используем формулу, описанную выше, подставив туда $C_2 = \infty , С_{1} = 1.4 \frac{Дж}{К}$ $\tau_1 = 2.46 \space мин$
3.) $\tau_3 = \frac{Q}{\alpha (100 - T_{перехода})} = 5.16 \space мин$
$\tau_{полн} = 8.17 \space мин$

$\textbf{Альтернативное решение:}$
Найти $\alpha$ можно иначе, не используя теплоемкость тела $C_1$. Рассмотрим, например, как скорость убывания температуры в начальный момент времени зависит от начальной температуры второго тела:
$$ C_2 \dot{T_2}(0) = -\alpha (T_{20} - T_{10}) $$ Эта зависимость линейна и из углового коээфициента графика $\dot{T_2}(0)$ от $T_{20}$ можно определить $\alpha / C_2$, а значит и $\alpha$.

Зная $\alpha$, можно, теоретически, определить теплоемкость тела №1, рассматривая зависимость температуры $T_2$ от времени.

Для этого из системы
$$C_1 \dot{T_1} = \alpha (T_2 - T_1) \\
C_2 \dot{T_2} = -\alpha (T_2 - T_1) $$
можно получить
$$
T_1 = T_2 + \frac{C_2}{\alpha} \dot{T_2} \\
C_1 = - \frac{ {C_2 \dot{T_2} } }{ {\dot{T_2} + \frac{C_2}{\alpha} \ddot{T_2}} }
$$
В правой части выражений все величины известны.

Если по формуле $$\ddot{T_2} \approx \frac{{T_2(t+\Delta t)+T_2(t-\Delta t)-2T_2(t)} }{ {(\Delta t)^2}} $$ вычислить $\ddot{T}_2$, то величина числителя окажется сравнимой с ошибкой округления выводимых программой данных. Из-за этих ошибок вычислить значение $\ddot{T_2}$ с достаточной точностью невозможно, поэтому, на практике, такое решение не приводит к правильному ответу.