Предположим, что удары о стенки происходят гораздо чаще, чем пересечения шайбой оси $y$, и что движение вдоль оси $x$ ограничено в узкой области вблизи начала координат (затем убедимся в верности этого предположения). Тогда время пролета от стенки до стенки $\Delta t \simeq-\frac{2 h}{v}$ будет почти постоянным. Изменение проекции скорости на ось $x$ за один удар $\Delta v_{x}=-2 \frac{x}{R} v$. Здесь $x$ – абсцисса шайбы. $a_{x} \simeq \frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}=-\frac{v^{2}}{R h} x$. С учетом того, что $a_{x}=\ddot{x}$ можем записать $\ddot{x}=-\frac{x v^{2}}{R h}$. Имеем дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины $x$:
$$
\ddot{x}+\frac{v^{2}}{R h} x=0.
$$
Период колебаний величины $x$ равен $T=2 \pi \sqrt{\frac{R h}{v^{2}}}$, а искомое время $\tau=\frac{\pi \sqrt{R h}}{v}$.
Заметим, что $\frac{\tau}{\Delta t}=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{h}} \gg 1$, амплитуда $A$ колебаний вдоль оси $x$ равна $A=a \sqrt{R h} \ll O C=\sqrt{2 R h}$. Это значит, что высказанные выше предположения верны.