1  ^?? Чему будет равно удлинение данной пружины, если ее подвесить за один конец (без груза)?

Жесткость данной пружины $k=\frac{M g}{\Delta x_{0}}$. Найдем жесткость $k^{*}$ небольшого элемента этой пружины длиной $d x$. Если пружина растянута на величину $\Delta x$, то очевидно, что удлинение $\delta x$ элемента пружины длиной $d x$ равно $\delta x=\frac{\Delta x}{l_{0}} d x$, где $l_{0}$ – длина пружины, при этом упругая сила в любом сечении пружины равна $F=k \Delta x$. С другой стороны, деформация элемента пружины $d x$ может быть записана в виде $\delta x=\frac{F}{k^{*}}=\frac{k \Delta x}{k *}$. Приравняв два выражения для $\delta x$, получим $k^{*}=k \frac{l_{0}}{d x}$.
Рассмотрим вертикально подвешенную пружину (см. рисунок ниже).

Распределение силы $F_{x}$ вдоль оси $x$ будет иметь вид
$$
F_{x}=\frac{M g}{l_{0}}\left(l_{0}-x\right).
$$
Удлинение элемента пружины длиной $d x$, имеющего координату $x$, равно
$$
\delta x=\frac{F_{x}}{k *}=\frac{M g\left(l_{0}-x\right) d x}{k l_{0}^{2}}=\frac{\left(l_{0}-x\right) \Delta x_{0}}{l_{0}^{2}} d x.
$$
Очевидно, что удлинение всей пружины
$$
\Delta x=\int \limits_{0}^{l_{0}} \frac{\left(l_{0}-x\right) \Delta x_{0}}{l_{0}^{2}} d x=\frac{\Delta x_{0}}{2}.
$$

2  ^?? Чему будет равен период колебаний груза массой $m$, скрепленного с одним из концов данной пружины, если второй конец пружины неподвижен, а груз скользит по гладкой горизонтальной поверхности?

Пусть в некоторый момент времени груз массой $m$ сместился от равновесного положения $(x=0)$ на величину $x$ (см. рисунок ниже).

Найдем полную энергию системы «пружина + груз» массой $m$. Кинетическая энергия груза $T_{m}=\frac{m x^{2}}{2}$.
Если смешение правого конца пружины $x$, то смещение элемента пружины с координатой $y$ равно
$$
x_{y}=\frac{x}{l_{0}} y.
$$
Следовательно, скорость элемента пружины с координатой $y$
$$
v_{y}=\dot{x}_{y}=\frac{y}{l_{0}} \dot{x}_{0},
$$
а кинетическая энергия элемента пружины длиной $d y$
$$
d T_{пр}=\frac{M}{l_{0}} d y \frac{y^{2}}{2 l_{0}^{2}} \dot{x}^{2}=\frac{M x^{2}}{2 l_{0}^{3}} y^{2} d y.
$$
Полная кинетическая энергия пружины
$$
T_{пр}=\int \limits_{0}^{l_{0}} \frac{M x^{2}}{2 l_{0}^{3}} y^{2} d y=\frac{M x^{2}}{6}.
$$
Теперь найдем энергию упругой деформации пружины
$$
U=\frac{k x^{2}}{2}=\frac{M g}{2 \Delta x_{0}} x^{2}.
$$
Полная энергия системы «пружина + груз»
$$
\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{m \dot{x}^{2}}{6}+\frac{M g}{2 \Delta x_{0}} x^{2}=\operatorname{const}.
$$
Продифференцировав по времени $t$, получим уравнение движения груза:
$$
(m+M / 3) \ddot{x}+\frac{M g}{\Delta x_{0}} x=0.
$$
Период колебания груза $T=2 \pi \sqrt{\frac{\left(m+\frac{M}{3}\right) \Delta x_{0}}{M g}}$.