1  ^?? При каком коэффициенте трения $\mu$ кубика о поверхность доски количество тепла, выделившееся в системе, будет максимальным?

Выделившееся количество теплоты не может превышать начальную кинетическую энергию кубика. В случае, если в некоторый момент останавливают кубик и доску, а пружина оказывается недеформированной, то дальнейшие движения в системе невозможны, и выделившееся количество теплоты будет максимально и равно
$$
Q_{\max }=\frac{m v_{0}^{2}}{2} \simeq 0.05~Дж.
$$
Описанная выше ситуация реализуется при определенном значении (или значениях!) коэффициента трения $\mu$.
Рассмотрим систему, когда кубик движется относительно доски. Запишем уравнения второго закона Ньютона для кубика и доски:
$$
\begin{gathered}
m a_{1}=-\mu m g. &\quad (1)
\\
M a_{2}=\mu m g-k x, &\quad (2)
\end{gathered}
$$
где $a_{1}$ и $a_{2}$ – ускорения кубика и доски соответственно, а $x$ – деформация пружины в произвольный момент времени $t$.
Из уравнений $(1)$ и $(2)$ при заданных начальных условиях вытекают законы движения кубика и доски:
$$
\begin{gathered}
v_{1}(t)=v_{0}-\mu g t, x_{1}(t)=v_{0} t-\frac{\mu g t^{2}}{2}, &\quad (3)
\\
v_{2}(t)=\frac{\mu m g}{\sqrt{k M}} \sin \left(\sqrt{\frac{k}{M}} t\right), x_{2}(t)=\frac{\mu m g}{k}\left[1-\cos \left(\sqrt{\frac{k}{M} t}\right)\right]. &\quad (4)
\end{gathered}
$$
Из анализа уравнений $(3)$ и $(4)$ следует, что доска останавливается, а пружина приходит в недеформированное состояние в моменты $t_{2 n}=2 \pi \sqrt{\frac{k}{M}}$, где $n$ – натуральное число $(n=1,2,3, \ldots)$.
Остановка кубика (относительно стола) произойдет в момент $t_{1}=\frac{v_{0}}{\mu g}$. Система придет в состояние покоя при условии, когда $t_{1}=t_{2 n}$, а $x_{1}(t_{1})<L$ (кубик не должен соскользнуть с доски). Отсюда следует, что коэффициент трения $\mu=\frac{v_{0}}{2 \pi g \sqrt{\frac{M}{k}}} \frac{1}{n} \approx \frac{0.16}{n}$.
При этом $\mu \geq \frac{v_{0}^{2}}{2 g L} \approx 0.051$.
Таким образом, в системе выделяется максимальное количество теплоты $Q_{\max }=\frac{m v_{0}^{2}}{2} \approx 0.05~Дж$ при трех значениях коэффициента трения: $\mu_{1} \approx 0.16$, $\mu_{2} \approx 0.08$, $\mu_{3} \approx 0.053$.
Эту часть решения можно получить из простых соображений. Доска останавливается, а пружина оказывается в недеформированном состоянии через целое число периодов колебаний
$$
t_{2 n}=n T=2 \pi n \sqrt{\frac{M}{k}}.
$$
Кубик, движущийся в одном направлении равнозамедленно останавливается в момент $t_{1}=\frac{v_{0}}{\mu g}$. Приравнивая эти значения времени, получаем приведенный выше результат. Значения целого числа $n$ определяются из условия, что кубик не соскальзывает с доски; отсюда получим три возможных значения $\mu$ $(\mu_{1}, \mu_{2}$ и $\mu_{3})$.

2  ^?? Проверьте, удовлетворяют ли условия задачи этому предположению для всех полученных решений.

Для окончательного решения задачи осталось проверить справедливость предположение о том, что кубик все время движется в одном направлении. Это условие означает, что скорость кубика в любой момент больше скорости доски.
Покажем это для случая $n=1$. Изобразим скорости кубика $v_{1}(t)$ и доски $v_{2}(t)$ на графике (см. рисунок).

Они не должны пересекаться на интервале $(0 ; T)$. Это условие можно записать (приблизительно) в виде
$$
\frac{3}{4} v_{0}>\frac{\mu_{1} m g}{\sqrt{k M}}=\frac{m}{2 \pi M} v_{0}.
$$
При подстановке заданных числовых значений можно убедиться, что это неравенство выполняется с большим запасом.
Аналогично можно рассмотреть случаи $n=2$ и $n=3$.