1  ^?? объем $V_{3}$ и температуру $T_{3}$ в точке $3$;

Давление, объем и температура газа в точках $1$, $2$ и $3$ обозначим через $p$, $V$ и $T$, добавляя соответствующие индексы.
Для участка $3-1$ (см. рисунок) $\frac{V_{3}}{p_{3}}=\frac{V_{1}}{p_{1}}$. Так как $p_{3}=p_{0}$, $p_{1}=5 p_{0}$ и $V_{1}=3 V_{0}$, то $V_{3}=\frac{3}{5} V_{0}$. Зная $p_{3}$ и $V_{3}$, находим из уравнения состояния
$$
T_{3}=\frac{p_{3} V_{3}}{\nu R}=\frac{3}{5} \frac{p_{0} V_{0}}{\nu R}.
$$

2  ^?? работу $A$ газа за цикл;

Работа газа за цикл равна
$$
A=\frac{1}{2}\left(V_{2}-V_{3}\right)\left(p_{1}-p_{2}\right)=\frac{64}{5} p_{0} V_{0}.
$$

3  ^?? коэффициент полезного действия тепловой машины.

Найдем температуры $T_{1}=\frac{P_{1} V_{1}}{\nu R}=\frac{15 p_{0} V_{0}}{\nu R}$ и $T_{2}=\frac{P_{2} V_{2}}{\nu R}=\frac{7 p_{0} V_{0}}{\nu R}$. На участке $2-3$ газ отдает тепло, а на участке $3-1$ получает количество теплоты
$$
Q_{31}=\frac{\nu \cdot 3}{\nu \cdot 2} R\left(T_{1}-T_{3}\right)+\frac{p_{1}+p_{3}}{2}\left(V_{1}-V_{3}\right)=\frac{144}{5} p_{0} V_{0}.
$$Можно показать, что на участке $1-2$ есть точка $K$ с критическим объемом $V_{к}$ таким, что при $V < V_{к}$ газ получает тепло, а при $V > V_{к}$ отдает. При этом $p_{к}=3 p_{0}$, $T_{к}=\frac{15 p_{0} V_{0}}{\nu R}$.
Итак, за цикл газ получает тепло только на участках $3-1$ и $1-K$, причем
$$
Q_{1 K}=\frac{\nu 3}{\nu 2} R\left(T_{к}-T_{1}\right)+\frac{p_{1}+p_{2}}{2}\left(V_{к}-V_{1}\right)=8 p_{0} V_{0}.
$$Коэффициент полезного действия тепловой машины
$$
\eta=\frac{A}{Q_{31}+Q_{1 К}}=\frac{8}{23} \approx 0.35.
$$$\textit{Замечание:}$ Решение и ответ $\eta=\frac{A}{Q_{31}}=\frac{4}{9} \approx 0.44$ неверны!