Направим ось $x$ вдоль линии движения среднего шарика, поместив начало координат в точку его равновесного положения (см. рисунок).
Если в произвольный момент координата и скорость среднего шарика соответственно равны $x$ и $v=\dot{x}$, то координата и скорость (в проекциях на ось $x$) крайних шариков будут $-x / 2$ и $-v / 2$. Полная энергия системы сохраняется:
$$
\frac{m v^{2}}{2}+2 \frac{m(v / 2)^{2}}{2}+\frac{k q^{2}}{2 a \cos \alpha}+2 \frac{k q^{2}}{a}=\operatorname{const}
$$
или
$$
\frac{3}{4} m v^{2}+\frac{k q^{2}}{2 a \cos \alpha}+2 \frac{k q^{2}}{a}=\operatorname{const}.
$$
Учтя, что $\cos \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3 x}{2 a}\right)^{2}}$ и продифференцировав по времени последнее уравнение, получим
$$
\ddot{x}+\frac{3 k q^{2}}{4 m a^{3}} \frac{x}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{3 x}{2 a}\right)^{2}\right]^{3}}}=0.
$$
Так как $\frac{x}{a} \ll 1$, то получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний
$$
\ddot{x}+\frac{3 k q^{2}}{4 m a^{3}} x=0.
$$
Период свободных колебаний системы шариков равен
$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{4 m a^{3}}{3 k q^{2}}}=2 \pi \sqrt{\frac{16 \pi \varepsilon_{0} m a^{3}}{3 q^{2}}}.
$$