На систему «санки - собака» за время их взаимодействия действуют внешние силы: направленные вертикально вниз силы тяжести $M \vec{g}$ и $m \vec{g}$, изменяющаяся со временем сила реакции $\vec{R}$ со стороны горки. При движении санок с горки с постоянной скоростью сила $\vec{R}$ всегда направлена вертикально вверх, так как результируюoая всех сил должна быть равна нулю. Разложим $\vec{R}$ (см. рисунок) на силу нормального давления $\vec{N}$ и силу трения $\vec{F}_{тр}$: $\vec{R}=\vec{N}+\vec{F}_{тр}$.
Ясно, что $\vec{F}_{тр}=\mu N$, где $\mu$ – коэффициент трения скольжения. До прыжка сила реакции $\vec{R}_{0}=\vec{N}_{0}+\vec{F}_{тр 0}$, где $F_{тр 0}=\mu N_{0}$ и вектор $\vec{R}_{0}$ направлен вертикально вверх. В ходе взаимодействия собаки с санками реакция $N$ возрастает в $k$ раз $(N=k N_{0})$, сила $\vec{F}_{тр}$ тоже возрастает в $k$ раз и вектор $\vec{R}$ остается параллельным $\vec{R}_{0}$, т.е. вектор $\vec{R}$ направлен вертикально вверх. Итак, для системы «санки - собака» за время их взаимодействия все внешние силы направлены вертикально. Отсюда следует, что проекция импульса системы на горизонтальную ось $x$ сохраняется:
$$
M v_{1} \cos \alpha+m v_{0} \cos (\beta-\alpha)=(M+m) v_{2} \cos \alpha.
$$
Из этого равенства находим скорость санок с собакой:
$$
v_{2}=\frac{M v_{1} \cos \alpha+m v_{0} \cos (\beta-\alpha)}{(M+m) \cos \alpha}.
$$