Сначала рассмотрим, как изменяется температура $T$ газа при движении вдоль отрезка $B C$, задаваемого уравнением $\frac{V}{V_{0}}+\frac{p}{p_{0}}=1$ (см. рисунок ниже).
Для $\nu$ молей газа $p V=\nu P T$. Поэтому $T=\frac{p V}{\nu R}=\frac{p_{0}}{\nu R V_{0}}\left(V_{0} V-V^{2}\right)$. Максимум $T$ будет в некоторой точке $A$ при $V=\frac{V_{0}}{2}$. Это значит, что точка $A$ находится на середине гипотенузы прямоугольного треугольника $\Delta O B C$ и поэтому равноудалена от точек $O$, $B$ и $C$.
Возьмем произвольный цикл (см. рисунок выше). Проведем ряд изотерм. Изотерма с наибольшей температурой, касающаяся кривой цикла (точка $A$ на рисунке), соответствует максимальной температуре в цикле. Проведем через точку $A$ общую касательную к кривой цикла и изотерме. Ясно, что максимальная температура на касательной соответствует точке $A$. По доказанному выше, эта точка равноудалена от начала координат и точек пересечения касательной с осями координат: $A O=A B=A C$. Теперь понятен алгоритм восстановления осей.
$1$. Проводим касательную в точку $A$ (см. рисунок ниже).
$2$. Проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $A O$.
$3$. Через точки пересечения окружности с касательной проводим оси координат.
$4$. Из двух возможных вариантов направлений осей $p$ и $V$ выбираем тот, который удовлетворяет условию задачи.
