Сразу после замыкания ключа $K$ конденсатор будет разряжаться через катушку $L_{2}$. Зависимость силы тока $I_{2}(t)$ от времени будет иметь вид:
$$
I_{2}(t)=V_{0} \sqrt{\frac{C}{L_{2}}} \cdot \sin \omega_{01} t=\frac{V_{0}}{2} \sqrt{\frac{C}{L_{1}}} \sin \omega_{01} t, \quad (1)
$$
где $\omega_{01}=1 / \sqrt{L_{2} C}=1 /\left(2 \sqrt{L_{1} C}\right)$ — собственная частота $L_{2} C$-контура. Эта зависимость будет иметь место при $0 \leq t \leq \pi \sqrt{L_{1} C}$.
Рассмотрим теперь характер изменения тока $I_{2}$ после того, как он достигнет максимального значения. Для произвольного момента времени положительные направления токов изображены на рисунке ниже.
Запишем закон Ома для контура, включающего обе катушки:
$$
L_{1} \frac{d I_{1}}{d t}+L_{2} \frac{d I_{2}}{d t}=0.
$$
Отсюда следует, что $L_{1} I_{1}+L_{2} I_{2}=\operatorname{const}$. Константа, очевидно, равна $V_{0} \sqrt{L_{2} C}$. Из первого правила Кирхгофа следует, что $I_{2}=I_{1}+I_{3}$. Для контура, в который входят катушка $L_{2}$ и конденсатор $C$, можно записать:
$$
L_{2} \frac{d I_{2}}{d t}+\frac{q}{C}=0.
$$
Продифференцируем это выражение по времени:
$$
L_{2} \frac{d^{2} I_{2}}{d t^{2}}+\frac{1}{C} \frac{d q}{d t}=0. \quad (2)
$$
Поскольку $\frac{d q}{d t}=I_{3}$, a $I_{3}=I_{2}-I_{1}=I_{2}+\frac{L_{2}}{L_{1}} I_{2}-\frac{V_{0}}{L_{1}} \sqrt{L_{2} C}$, уравнение $(2)$ можно переписать в следующем виде:
$$
\frac{d^{2} I_{2}}{d t^{2}}+\frac{L_{1}+L_{2}}{L_{1} L_{2} C} I_{2}=\frac{V_{0}}{L_{1} \sqrt{L_{2} C}}. \quad (3)
$$
Собственная частота контура $\omega_{02}=\sqrt{\frac{L_{1}+L_{2}}{L_{1} L_{2} C}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{L_{1} C}}$. Решение уравнения $(3)$ ищем в виде:
$$
I_{2}=A \cos \left(\omega_{02} t\right)+B \sin \left(\omega_{02} t\right)+\frac{V_{0} \sqrt{L_{2} C}}{L_{1}+L_{2}}.
$$
Константы $A$ и $B$ находим из начальных условий: при $t=0$ сила тока в катушке $L_{2}$ максимальна и равна $V_{0} \sqrt{\frac{C}{L_{2}}}$, а производная $\frac{d I_{2}}{d t}=0$. Окончательно:
$$
A=V_{0} \sqrt{\frac{C}{L_{2}}} \frac{L_{1}}{L_{1}+L_{2}}, B=0.
$$
Отсюда
$$
I_{2}(t)=V_{0} \sqrt{\frac{C}{L_{2}}} \frac{L_{1}}{L_{1}+L_{2}}\left[\cos \left(\omega_{02} t\right)+\frac{L_{2}}{L_{1}}\right]. \quad (4)
$$
С учетом, что $L_{2}=4 L_{1}$, получим: $I_{2}(t)=\frac{V_{0}}{10} \sqrt{\frac{C}{L_{1}}}\left[\cos \left(\omega_{02} t\right)+4\right]$.
Зависимость $I_{2}(t)$ изображена на рисунке выше, где $t_{1}=\pi \sqrt{L_{1} C}$, $t_{2}=\pi \sqrt{L_{1} C}\left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$, $t_{3}=\pi \sqrt{L_{1} C}\left(1+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$, $t_{4}=\pi \sqrt{L_{1} C}\left(1+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$.
