Определите расстояние $h$, на которое груз опустится в воду после установления равновесия, в следующих случаях:

Пусть площадь основания цилиндрического груза и площадь внутреннего сечения трубы равны $S$. После того как нить отпустят, груз начнет опускаться, а вода – подниматься по трубе за поршнем. Возможны два случая: груз опустится в воду либо полностью, либо частично. В этих случаях равнодействующая $R$ сил тяжести и Архимеда будет равна
$$
BEEQUATION
$$Сила $R$ должна совпадать с весом жидкости в трубе, подняв шейся за поршнем: $R=\rho_{0} g S H$.

В первом случае (при $\rho_{1}<2 \rho_{0}$) $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}$.

Bo втором случае (при $\rho_{1}>2 \rho_{0}$) $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}$.

Учитывая первое условие задачи, $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}=0.5~м$.

Аналогично, при втором условии $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}=8~м$.

1  ^?? $\rho_{1}=\rho_{0}$, $H=1~м$;

Учитывая первое условие задачи, $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}=0.5~м$.

2  ^?? $\rho_{1}=3 \rho_{0}$, $H=4~м$;

Аналогично, при втором условии $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}=8~м$.

3  ^?? $\rho_{1}=1.5 \rho_{0}$, $H=16~м$.

Применение полученных формул к условию $3$ давало бы $h=12~м$. Однако здесь мы сталкиваемся с эффектом конечности атмосферного давления: при поднятии поршня на высоту более $H_{0}=10~м$ вода выше уровня $H_{0}$ подниматься не будет.

Если цилиндр опускается в волу на глубину $h$ не полностью, то сила атмосферного давления $p_{атм} S=\rho_{0} g H_{0} S$, действующая на поршень, должна уравновешивать силу натяжения нити:
$$
\rho_{0} g H_{0} S=\rho_{1} g S H-\rho_{0} g S h .
$$Отсюда глубина погружения цилиндра при условии $3$:
$$
h=\frac{\rho_{1} H}{\rho_{0}}-H_{0}=14~м.
$$