Найдите массу бруска $M$ и коэффициент трения скольжения $k$ шайб по бруску.

Совместим начало координат неподвижной системы отсчета с исходным положением первой шайбы и направим ось $O x$ к другой шайбе. Поскольку по условию обе шайбы имеют ненулевые скорости относительно бруска, на них действуют силы трения скольжения; при этом ускорения шайб в проекции на ось $O x$ paвны $a_{1 x}=-k g$ и $a_{2 x}=k g$. На брусок со стороны шайб также действуют силы трения, проекции которых на ось $O x$ равны $F_{1 x}=k m g$ и $F_{2 x}=-2 k m g$. Результирующая сила равна $F_{x}=-k m g$; она сообщает бруску ускорение $a_{x}=-\frac{k m g}{M}$.

Через время $\tau$ после начала движения координаты шайб будут равны
$$
x_{1}(\tau)=v_{0} \tau-\frac{k g \tau^{2}}{2}, x_{2}(\tau)=L-2 v_{0} \tau+\frac{k g \tau^{2}}{2},
$$а координата края бруска, стартовавшего из начала координат,
$$
x(\tau)=-\frac{k m g}{M} \frac{\tau^{2}}{2} .
$$По условию задачи,
$$
x_{1}(\tau)=x_{2}(\tau), x_{1}(\tau)-x(\tau)=\frac{L}{2} .
$$Из первого соотношения можно найти $k$, из второго $M$:
$$
k=\frac{3 v_{0} \tau-L}{g \tau^{2}}, M=m \frac{3 v_{0} \tau-L}{v_{0} \tau} .
$$Однако приведенные рассуждения справедливы только в том случае, если ни одна из шайб не прекратила своего движения относительно бруска. Поскольку для скоростей шайб и бруска имеем
$$
\begin{array}l
v_{1 x}(\tau)=v_{0}-k g \tau, v_{2 x}(\tau)=-2 v_{0}+k g \tau,
\\
v_{x}(\tau)=-\frac{k m g}{M} \tau,
\end{array}
$$то должны выполняться условия
$$
v_{0}-k g \tau>-\frac{k m g}{M} \tau>-2 v_{0}+k g \tau
$$или
$$
L>v_{0} \tau,\quad L>2 v_{0} \tau.
$$Кроме того, коэффициент трения $k$ должен быть положителен, то есть
$$
L<3 v_{0} \tau.
$$Условия $L>v_{0} \tau, L>2 v_{0} \tau$ и $L<3 v_{0} \tau$ при $\tau=\frac{0,4 L}{v_{0}}$ выполнены, поэтому
$$
k=\frac{v_{0}^{2}}{0.8 g L},\quad M=\frac{m}{2}.
$$

Будет ли задача иметь решение, если $\tau=\frac{0.2 L}{v_{0}}$? $\tau=\frac{L}{v_{0}}$? Ответ обоснуйте.

При $\tau=\frac{0,2 L}{v_{0}}$ не выполнено условие $L<3 v_{0} \tau$ (коэффициент трения оказывается отрицателен), при $\tau=\frac{L}{v_{0}}$ нарушается условие $L>v_{0} \tau, L>2 v_{0} \tau$ (шайбы не могут встретиться на середине бруска, имея ненулевые скорости относительно бруска). Следовательно, в этих двух случаях задача не имеет решения.