В промежуток времени, когда ключ $K_{1}$ замкнут, а $K_{2}$ разомкнут, диод открыт. К моменту замыкания ключа $K_{2}$ работа батареи $\mathscr{E}_{1}$ пошла на зарядку конденсатора $C_{1}$ и выделение тепла $Q_{1}^{\prime}$ на резисторе $R_{1}$ :
$$
\mathscr{E}_{1} q_{1}=\frac{q_{1}^{2}}{2 C_{1}}+Q_{1}^{\prime},
$$
где $q_{1}$ – заряд, прошедший через батарею. Конденсатор $C_{1}$ зарядится до напряжения $\mathscr{E}_{1}$, поэтому $q_{1}=C_{1} \mathscr{E}_{1}$, откуда $Q_{1}^{\prime}=\frac{C_{1} \mathscr{E}{1}^{2}}{2}$. Поскольку $\mathscr{E}_{2}>\mathscr{E}_{1}$, то после замыкания ключа $K_{2}$ напряжение на конденсаторе $C_{1}$ возрастает, поэтому диод будет все время закрыт. Следовательно, ток через резистор $R_{1}$ течь не будет, и $Q_{1}=Q_{1}^{\prime}=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{2}$. К моменту завершения переходных процессов через батарею $\mathscr{E}_{2}$ пройдет заряд $q_{2}$, тогда работа источника
$$
\mathscr{E}_{2} q_{2}=\frac{q_{2}^{2}}{2 C_{2}}+\left(\frac{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}}{2 C_{1}}-\frac{q_{1}^{2}}{2 C_{1}}\right)+Q_{2} .
$$
Конденсаторы зарядятся до напряжений $U_{1}$ и $U_{2}$, которые находим из условий стационарности: $U_{1}+U_{2}=\mathscr{E}_{2}$, $q_{1}+q_{2}=C_{1} U_{1}$, $q_{2}=C_{2} U_{2}$. Отсюда
$$
U_{1}=\frac{\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}}{2}=\frac{3}{2} \mathscr{E}, \quad U_{2}=\frac{\mathscr{E}_{2}-\mathscr{E}_{1}}{2}=\frac{1}{2} \mathscr{E} .
$$
Подставляя $q_{1}$, $q_{2}$, $U_{1}$, $U_{2}$ в уравнение, находим $Q_{2}=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{4}$.