Пусть $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ — скорости шайбы и доски соответственно. Обозначим через $\vec{u}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}$ их относительную скорость. Найдем $\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}$. По второму закону Ньютона
$$
m_{1} \frac{\Delta \vec{v}_{1}}{\Delta t}=-\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right), \quad m_{2} \frac{\Delta \vec{v}_{2}}{\Delta t}=\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right) .
$$Отсюда
$$
\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}=-\alpha\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \vec{u}=-\frac{\vec{u}}{\tau}, \text{ где } \frac{1}{\tau}=\frac{\alpha}{\mu}, \quad \frac{1}{\mu}=\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right).
$$Постоянная $\tau$ имеет размерность времени, а $\mu$ — массы. Таким образом, относительная скорость $\vec{u}$ будет изменяться по тому же закону, что и скорость материальной точки массой $\mu$, движущейся в вязкой среде с силой сопротивления $-\alpha \vec{u}$. Со временем эта материальная точка затормозится — установившееся значение скорости $\vec{u}$ будет равно нулю, то есть скорости шайбы и доски станут одинаковыми. Их значения $\vec{v}$ можно найти из закона сохранения импульса:
$$
m_{1} \vec{v}+m_{2} \vec{v}=m_{1} \vec{v}_{0}, \quad v=v_{0} \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} .
$$Обозначим через $\vec{r}$ вектор, соединяющий шайбу и конец доски. Поскольку $\vec{u}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$, имеем
$$
\Delta \vec{r}=\vec{u} \Delta t=-\tau \Delta \vec{u} .
$$При изменении скорости $u$ от $v_{0}$ до нуля $\left(\Delta u=-v_{0}\right)$ расстояние $r$ между шайбой и концом доски изменяется на
$$
\Delta r=v_{0} \tau.
$$Таким образом, в установившемся режиме шайба и доска будут двигаться со скоростью $v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}$, а шайба удалится от края доски на расстояние
$$
L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
$$