Пусть $L$ и $B$ – уровни гелия и нижнего основания ареометра в положении равновесия, а $L^{\prime}$ и $B^{\prime}$ – те же уровни при смещении ареометра (см. рисунок).
Высота $h$ столба гелия в равновесии определяется законом Архимеда:
$$
\pi r^{2} \rho h=m,
$$причем $h \gg R \gg x$.
Для нахождения максимальной скорости $v$ смещения уровня гелия воспользуемся законом сохранения энергии. Максимальная скорость мениска будет достигаться при прохождении положения равновесия. Найдем кинетическую энергию в этот момент. Поскольку $R-r \ll R \ll h$, определяющий вклад в кинетическую энергию системы вносит движение тонкого пристеночного слоя жидкости:
$$
E_\mathrm{kin}=\frac{\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) h \rho v^{2}}{2}=\frac{\left(R^{2}-r^{2}\right) m v^{2}}{2 r^{2}} .
$$Действительно, $u r^{2}=v\left(R^{2}-r^{2}\right)$, и кинетическая энергия остальной жидкости и ареометра будет порядка
$$
E_\mathrm{kin}^{\prime}=\frac{m u^{2}}{2}+\frac{\pi R^{3} \rho u^{2}}{2} \ll E_\mathrm{kin}.
$$Аналогично, в рамках используемого приближения потенциальная энергия в положении максимального смещения
$$
E_\mathrm{pot}=\rho\left(h+\frac{x}{2}\right) \pi\left(R^{2}-r^{2}\right) g x-m g y=\frac{\rho g \pi\left(R^{2}-r^{2}\right) x^{2}}{2} .
$$Учитывая, что $E_\mathrm{pot}=E_\mathrm{kin}$, получаем
$$
\rho g \pi r^{2} x^{2}=m v^{2},\quad v=r x \sqrt{\frac{\rho g \pi}{m}}=3.5~м/с.
$$