Для начала соберем экспериментальную установку. Для этого закрепим лист
миллиметровой бумаги на столе с помощью скотча. Также с помощью скотча закрепим на столе две линейки, параллельно линиям на миллиметровке, перпендикулярно друг другу.
С помощью миллиметровки определим, что диаметр «серого ящика» (далее СЯ) $ D=
15.0 см$, значит его радиус $R = 7.5 см$. Проведем на листе миллиметровки линию,
параллельную одной из линеек на расстоянии 7.5 см от нее. Положим СЯ в угол,
образованный линейками. Схема установки представлена на рисунке.
Опыт №1
Временно уберем СЯ и расположим лазер на листе миллиметровки так, чтобы его луч шел вдоль пунктирной линии. Для удобства работы лазер зажмем в прищепку и подберем такое его положение, чтобы луч лазера распространялся параллельно столу.
Теперь поместим СЯ в угол из линеек и будем вращать его вокруг вертикальной оси так, чтобы он оставался прижатым к обеим линейкам. При некоторых углах поворота луч лазера на выходе из СЯ будет также идти вдоль пунктирной прямой. Это возможно в одном из двух случаев:
В первом случае при повороте СЯ на некоторый угол луч будет оставаться неподвижным.
Найдем границы этой области (предельные углы поворота, после которых луч лазера начинает смещаться). Нарисуем на верхней поверхности СЯ прямые, соединяющие точку входа и выхода лазера при указанных выше предельных углах. Эти прямые демонстрируют ход луча внутри СЯ и являются касательными к внутреннему цилиндру.
Во втором случае при повороте СЯ на небольшой угол в любую из сторон луч сразу будет отклоняться. Подберем положение СЯ, соответствующее второму случаю, и также проведем на поверхности СЯ прямую, соединяющую точки входа и выхода лучей. Центр внутреннего цилиндра будет расположен где-то на этой прямой.
Построенных прямых недостаточно для однозначного определения $r$ и $d$.
Опыт №2
Сместим лазер так, чтобы теперь он светил не вдоль пунктирной прямой и вновь будем вращать СЯ. Если луч внутри СЯ не попадает на внутренний цилиндр, то при малом повороте СЯ ход луча относительно стола не изменится, в противном случае – изменится.
Вращая СЯ мы можем находить предельные углы поворота, после которых ход луча
начинает изменяться. При таком предельном угле луч лазера внутри СЯ идет по
касательной к внутреннему цилиндру. Будем находить предельные углы и для каждого из них рисовать на поверхности ящика траекторию луча, соединив прямой точку входя луча в СЯ и точку выхода. Проделаем это несколько раз при различных положениях лазера и получим на поверхности ящика набор касательных к поверхности внутреннего цилиндра. (см. фото)
Теперь необходимо построить окружность, для которой эти линии являются касательными (с учетом погрешностей). Для этого удобно использовать циркуль. Так как мы знаем на какой прямой находится центр внутреннего диска, то устанавливая циркуль в различных точках этой прямой пытаемся подбирать такой радиус, чтобы наши прямые касались окружности. Если циркуля нет, то его можно легко изготовить. Достаточно оторвать небольшую полоску бумаги, проделать в ней небольшое отверстие острием карандаша и приставив карандаш к СЯ использовать его острие как ось вращения полоски бумаги. На полоске нужно нанести шкалу, чтобы лучше ориентироваться в расстояниях.
После построения окружности измерим ее радиус и расстояние до центра СЯ.
Получим $r =3 ~см$, $d = 3.5~ см$. Погрешность оценим качественно, попробовав сместить центр окружности в другое место и изменив радиус. Так как касательные проводятся с достаточно большой точностью, то погрешность не превышает 2 мм.
Окончательно получим: $r = (3.0 \pm 0.2) ~см$, $d = (3.5 \pm 0.2 )~ см$
В ходе проведения опытов можно было заметить, что при некоторых углах поворота СЯ имеются два выходящих луча. Это связано с тем, что падающий на границу внутреннего цилиндра свет частично преломляется, а частично отражается. Также можно заметить, что при некоторых углах поворота СЯ преломленный луч исчезает и остается только отраженный. Это свидетельствует о полном внутреннем отражении луча на границе внутреннего цилиндра, а значит его показатель преломления меньше, чем у внешнего.
Опыт №3
Повернем СЯ так, чтобы внутренний цилиндр оказался «снизу». Затем будем светить лазером под разными углами в точку пересечения СЯ с пунктирной линией. Каждый раз будем отмечать точку, в которой расположен лазер и точку выхода. Проведем такой опыт для трех разных углов, затем убрав СЯ построим падающие и отраженные лучи. Найдем углы падения и преломления через их тангенсы.
\[\alpha_{пад}= \operatorname{arctg}\left(\dfrac{h_1}{b_1}\right)\quad\alpha_{прел}= \operatorname{arctg}\left(\dfrac{h_2}{b_2}\right)\]
Из закона преломления $n_1= \dfrac{\sin\alpha_{пад}}{\sin\alpha_{прел}}$:
$h_1,~см$ $b_1,~см$ $h_2,~см$ $b_2,~см$ $\alpha_{пад},~рад$ $\alpha_{прел},~рад$ $n_1$ 5.3 12 3.5 13 0.42 0.26 1.55 7.1 12 4.8 13 0.53 0.35 1.47 9.1 12 5.5 13 0.65 0.40 1.55 7.8 12 5.1 13 0.58 0.47 1.49 6.2 12 4.1 13 0.48 0.31 1.53