Как вытекает из условия задачи, сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести. Поэтому при вычислении работы силы сопротивления в первом приближении можно считать, что скорость тела на высоте $z$ равна $\sqrt{v_{0}^{2}-2 g z}$. Следовательно, сила сопротивления зависит от высоты $z$ следующим образом:
$$
F_{сопр}=\alpha\left(v_{0}^{2}-2 g z\right)^{\frac{k}{2}},
$$где $\alpha$ - коэффициент пропорциональности. Потеря кинетической энергии равна удвоенной работе сил сопротивления воздуха на участке от высоты $0$ до высоты $\frac{v_{0}^{2}}{2 g}$, т. е. $\Delta E=-2 A$.
Разобьем участок $0 \leqslant z \leqslant \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ на большое число $N$ маленьких участков длиной $\Delta z=\frac{v_{0}^{2}}{2 g N}$ точками $z_{j}=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} \frac{j}{N}$. Тогда
$$
A=\alpha \sum_{j=1}^{N}\left(v_{0}^{2}-2 g z_{j}\right)^{\frac{k}{2}} \Delta z=\alpha \frac{v_{0}^{k+2}}{2 g} \sum_{i=1}^{N}\left(1-\frac{j}{N}\right)^{\frac{k}{2}} \frac{1}{N}=B v_{0}^{k+2},
$$где $B$ – постоянный множитель. $\frac{\Delta E}{E_{0}}=\frac{2 B v_{0}^{k+2}}{\left(\frac{m v_{0}^{2}}{2}\right)}=c v_{0}^{k}=1 \text%$ (по условию). Следовательно, $c=1 \text%\cdot c v_{0}^{-k}$.
При новой скорости бросания доля теряемой энергии
$$
\frac{\Delta E^{\prime}}{E_{0}^{\prime}}=c\left(\frac{v_{0}}{2}\right)^{k}=1 \text% \cdot 2^{-k}.
$$