При каких температурах $T_{0}$ воды и пара возможна такая ситуация, что при малых изменениях $\Delta T_{0}$ этой температуры поршень смещается в одну и ту же сторону от положения равновесия независимо от знака $\Delta T_{0}$?

Пусть $m_{в}$ – масса воды. Смещение поршня при изменении температуры $T$ воды и пара обусловлено изменением давления на поршень: $\mathrm d p_{эф}=\frac{\mathrm d m_{в} g}{S}+\mathrm d p$, где $\mathrm d p=\frac{\mathrm d T \mu \lambda p}{R T^{2}}$ по условию, а $\mathrm d m_{в}$ найдем из изменения массы в уравнении Менделеева-Клапейрона:
$$
\mathrm d m_{в}=-\mathrm d\left(\frac{\mu V p}{R T}\right)=-\frac{\mu V}{R} \cdot \frac{T ~\mathrm d p-p~\mathrm d T}{T^{2}}=\left(\frac{\mu p V}{R T^{2}}-\frac{\mu^{2} \lambda p V}{R^{2} T^{3}}\right)~ \mathrm d T.
$$Смещение поршня в одну сторону возможно при
$$
\frac{\mathrm d p_{эф}}{\mathrm d T}=\frac{\mu p}{R T_{0}^{2}}\left(\lambda+\frac{g V}{S}-\frac{\mu \lambda g V}{R S T_{0}}\right)=0, \text { откуда } T_{0}=\frac{\mu \lambda g V}{R(\lambda S+g V)}.
$$Можно убедиться, что при этом $\frac{\mathrm d^{2} p_{эф}}{\mathrm d T^{2}}+0$, что требуется для смещения в одну сторону. Таким образом, искомая температура
$$
T_{0}=\frac{\mu \lambda g V}{R(\lambda S+g V)}=330~К=57~{}^{\circ} \mathrm{C} .
$$