Поскольку система находится в стационарном состоянии, то масса газа в трубе в любой момент постоянна. Значит масса газа втекающего в трубу за малое время $dt$ должна равняться массе вытекающего газа
$${\rho_1}Sv_1dt={\rho_2}Sv_2dt={\mu}dt,
$$
где $\mu$ - массовый расход газа.
\newline
Так как сечение трубы постоянное и вязкое трение мало, то импульс газа, находящегося в трубе, изменяется за счет сил давления окружающего газа на торцы трубы. Запишем изменение импульса газа, находящегося в трубе, в проекции на ось $x$, направленную по движению газа:
$$dp_x=\left(P_1S-P_2S\right)dt.
$$
С другой стороны, так как скорость газа в любом сечении остается постоянной, то изменение импульса газа, находящегося в трубе, можно рассчитать как разность импульсов порции газа, вышедшей из трубы за малое время $dt$ и импульса порции газа, вошедшей в трубу за это время
$$dp_x=\mu\left(v_2-v_1\right)dt
$$
Приравнивая выражения для $dp_x$ и используя выражение для $\mu$, получим:
$$\rho_2=\frac{{\rho_1}^2{v_1}^2}{{\rho_1}{v_1}^2-\Delta{P}};\left(\rho_2=~\frac{{\rho_1}^2{v_1}^2}{{\rho_1}{v_1}^2+P_1-P_2}\right)
$$
$$v_2=v_1-\frac{\Delta{P}}{{\rho_1}v_1};~\left(v_2=v_1-\frac{P_2-P_1}{{\rho_1}v_1}\right)
$$
Из уравнение состояния идеального газа, записанного для порций газа на входе в трубу и на выходе из нее имеем:
$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{P_2\rho_1}{P_1\rho_2}=\frac{P_2v_2}{P_1v_1},
$$
откуда
Запишем закон сохранения энергии для газа находящегося в трубе, рассмотрев малый промежуток времени $dt$. За это время над газом совершают работу внешние силы давления, изменяются его кинетическая и внутренняя энергии и часть энергии выделяется в окружающую среду
$$P_1dV_1-P_2dV_2={\mu}dt\left(\frac{{v_2}^2-{v_1}^2}{2}+\frac{C_V}{M}\left(T_2-T_1\right)\right)+Ndt,
$$
где $M$ - молярная масса газа.
Таким образом
$$N=\rho_1Sv_1\left(\frac{{v_1}^2-{v_2}^2}{2}+\frac{C_P}{M}\left(T_1-T_2\right)\right)
$$
Подставив полученные ранее соотношения, окончательно получим