Во сколько раз увеличится фокусное расстояние композитной линзы, если ее поместить в глицерин?

Пусть $D_{1}$ и $D_{2}$ – оптические силы двух исходных линз, $D$ – композитной линзы. Фокусные расстояния линз связаны с их оптическими силами обратной зависимостью:
$$
f_{1}=\frac{1}{D_{1}}, \quad f_{2}=\frac{1}{D_{2}}, \quad f=\frac{1}{D}.
$$Из условий $f_{1}^{\prime}=\alpha f_{1}$ и $f_{2}^{\prime}=\beta f_{2}$ выразим оптические силы линз в жидкости:
$$
D_{1}^{\prime}=\frac{D_{1}}{\alpha}, \quad D_{2}^{\prime}=\frac{D_{2}}{\beta}.
$$Диаметр проходящего через оптическую систему из двух линз пучка параллельных лучей изменится в $\gamma$ раз, если линзы имеют общую точку фокуса (телескопическая система) и их оптические силы отличаются в $\gamma$ раз:
$$
\frac{D_{1}}{D_{2}}=\gamma \quad \text { или } \quad \frac{D_{2}}{D_{1}}=\gamma .
$$Линза с меньшей оптической силой изменяет ее в большее число раз при помещении в оптически более плотную среду, поэтому из условия $\beta>\alpha$ следует $D_{2}1.
$$Если линзы приложены одна к другой, то их оптические силы складываются. В качестве линз можно рассматривать половинки исходных линз, следовательно,
$$D=\frac{D_{1}+D_{2}}{2}, \quad D^{\prime}=\frac{D_{1}^{\prime}+D_{2}^{\prime}}{2} .
$$Искомое отношение фокусных расстояний равно:
$$\frac{f^{\prime}}{f}=\frac{D}{D^{\prime}}=\frac{D_{1}+D_{2}}{D_{1}^{\prime}+D_{2}^{\prime}}=\frac{\alpha \beta(\gamma+1)}{\alpha+\beta \gamma} .
$$