Считая, что энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности планеты, пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры поверхности, а тепловой поток внутри планеты пропорционален перепаду температур на единицу расстояния $\frac{\Delta T}{\Delta r}$, определите:

1  ^?? Температуру на расстоянии $r=\frac{R}{2}$ от центра планеты в момент исследований;

Рассмотрим тепловой поток внутри планеты через сферу радиусом $r<R$ (см. рисунок):
$$
\left(\frac{\Delta Q}{\Delta \tau}\right)_{r}=k \cdot 4 \pi r^{2} \cdot\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|,
$$
где $k$ – коэффициент, характеризующий теплопроводность планеты.

Поскольку охлаждение планеты происходит очень медленно, будем считать, что в каждый момент времени любой участок планеты находится в состоянии теплового равновесия. Тогда через сферу радиуса $r$ в единицу времени проходит такое количество энергии, которое выделяется внутри нее, а через поверхность планеты внутри всей планеты:
$$
\left(\frac{\Delta Q}{\Delta \tau}\right)_{R}=\sigma \cdot 4 \pi R^{2} \cdot T_{1}^{4},
$$
где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана.
Поскольку радиоактивные элементы распределены равномерно по всему объему планеты, то
$$
\left(\frac{\Delta Q}{\Delta \tau}\right)_{r}=\frac{r^{3}}{R^{3}} \cdot\left(\frac{\Delta Q}{\Delta \tau}\right)_{R}=\frac{r^{3}}{R^{3}} \cdot \sigma \cdot 4 \pi R^{2} \cdot T^{4}{ }_{1}=k \cdot 4 \pi r^{2} \cdot\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|.
$$
Из последнего равенства
$$
\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|=\frac{\sigma}{k} \cdot \frac{T_{1}^{4}}{R} \cdot r.
$$
После интегрирования найдем
$$
T(r)-T_{1}=\frac{\sigma T_{1}^{4}}{2 k R}\left(R^{2}-r^{2}\right).
$$
Поскольку $T(0)=T_{2}$, последнее выражение можно привести к виду
$$
\frac{T(r)-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}=\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}} .
$$
Отсюда $t_{r=\frac{R}{2}}=75{ }^{\circ} \mathrm{C}$.

2  ^?? Температуру на поверхности планеты через $4$ млн. лет;

Так как число радиоактивных элементов за $1$ млн. лет уменьшается вдвое, то за $4$ млн. лет оно уменьшится в $2^{4}=16$ раз. Это означает, что количество источников энергии и, следовательно, выделяемая ими энергия также уменьшится в $16$ раз. Вся эта энергия излучается с поверхности планеты и, так как мощность излучения пропорциональна $T^{4}$, температура поверхности за $4$ млн. лет уменьшится вдвое:
$T_{1}=273~К$, откуда $T_{1}^{\prime}=136.5~K$, $t_{1}^{\prime}=-136.5{ }^{\circ} \mathrm{C}$.

3  ^?? Температуру в центре планеты через $4$ млн. лет.

Найдем температуру в центре планеты через $4$ млн. лет. При $r=0$ получаем:
$$
\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{\sigma R}{2 k} T_{1}^{4}.
$$
Таким образом,
$$
\frac{T_{2}^{\prime}-T_{1}^{\prime}}{T_{2}-T_{1}}=\left(\frac{T_{1}^{\prime}}{T_{1}}\right)^{4}=\frac{1}{16},
$$
откуда
$$
T_{2}^{\prime}=T_{1}^{\prime}+\frac{1}{16}\left(T_{2}-T_{1}\right) \approx 143~К, \quad t_{2}^{\prime} \approx-130^{\circ} \mathrm{C}.
$$