В 1973 году был предложен способ вывода спутников на гиперболическую орбиту с помощью гравитационного манёвра, который Вам предлагается проанализировать.
В рамках данной задачи исследуется движение двух спутников 1 и 2, запущенных с противоположных полюсов Земли с одинаковыми по модулю и направлению скоростями $v$ по касательной к ней. Спутник 2 выводят на орбиту через малое время $\tau$ после запуска первого.
Если на орбиту вывести только один из спутников, то его траектория будет представлять собой параболу.
Масса спутника 1 равна $M_1$, а спутника 2 — $M_2\gg{M_1}$.
Сопротивлением газа в атмосфере можно пренебречь, как и влиянием гравитационного притяжения со стороны других тел.
Масса Земли $M_{\text{З}}\gg{M_2}$, радиус Земли — $R_{\text{З}}$, гравитационная постоянная — $G$.
Обозначим за $P$ точку пересечения эллиптических орбит спутников, а за $\varphi$ - угол между направлениями их скоростей в данной точке.
Движение спутника 1 состоит из трёх участков:
1) Движение по параболической орбите;
2) Взаимодействие со спутником 2 вблизи точки $P$;
3) Дальнейшее движение по гиперболической орбите в поле тяжести Земли.
В данной части задачи вам предстоит приближённо описать траекторию спутников до точки пересечения $P$ их орбит.
Здесь и далее считайте, что $\tau\ll{t_0}$. При приближении спутников к точке $P$ их взаимодействием с Землёй можно пренебречь.
Ответ выразите через $v$ и $\tau$.
Далее считайте, что в системе отсчёта спутника 2 орбита спутника 1 представляет собой гиперболу с прицельным параметром $b$ на их бесконечно большом удалении. Также считайте, что на бесконечно большом удалении относительная скорость спутников равна $v_0$, найденной в предыдущем пункте.
Когда взаимодействием спутников 1 и 2 вновь можно пренебречь, скорость спутника 1 в системе отсчёта Земли равна $u$ и направлена перпендикулярно линии, соединяющей его с Землёй.
После взаимодействия со спутником 2 орбита спутника 1 в поле тяжести Земли представляет собой гиперболу.