Logo
Logo

Два спутника

В 1973 году был предложен способ вывода спутников на гиперболическую орбиту с помощью гравитационного манёвра, который Вам предлагается проанализировать.
В рамках данной задачи исследуется движение двух спутников 1 и 2, запущенных с противоположных полюсов Земли с одинаковыми по модулю и направлению скоростями $v$ по касательной к ней. Спутник 2 выводят на орбиту через малое время $\tau$ после запуска первого.

Если на орбиту вывести только один из спутников, то его траектория будет представлять собой параболу.

Масса спутника 1 равна $M_1$, а спутника 2 --- $M_2\gg{M_1}$.
Сопротивлением газа в атмосфере можно пренебречь, как и влиянием гравитационного притяжения со стороны других тел.

Масса Земли $M_{\text{З}}\gg{M_2}$, радиус Земли --- $R_{\text{З}}$, гравитационная постоянная --- $G$.

Обозначим за $P$ точку пересечения эллиптических орбит спутников, а за $\varphi$ - угол между направлениями их скоростей в данной точке.
Движение спутника 1 состоит из трёх участков:
1) Движение по параболической орбите;
2) Взаимодействие со спутником 2 вблизи точки $P$;
3) Дальнейшее движение по гиперболической орбите в поле тяжести Земли.
Часть A. Траектория одного из спутников (3.3 балла)
В данной части задачи вам предстоит приближённо описать траекторию спутников до точки пересечения $P$ их орбит.
A1  0.40 Чему равна скорость спутников $v$ в момент запуска? Ответ выразите через $G$, $M_\text{З}$ и $R_\text{З}$.
A2  0.60 На каком расстоянии от центра Земли $R_0$ находится точка $P$ пересечения траекторий спутников? Ответ выразите через $R_\text{З}$.
A3  0.80 Чему равен угол $\varphi$ между направлениями скоростей спутников в точке $P$?
A4  1.50 Найдите время $t_0$, через которое спутники достигают точки $P$. Ответ выразите через $G$, $R_\text{З}$ и $M_\text{З}$.
Часть B. Взаимодействие спутников (4.0 балла)
Здесь и далее считайте, что $\tau\ll{t_0}$. При приближении спутников к точке $P$ их взаимодействием с Землёй можно пренебречь.
B1  0.70 Считая, что вблизи точки $P$ спутники двигались вдоль прямых, направления которых совпадали с направлениями их скоростей в данной точке, найдите относительную скорость спутников $v_0$, а также минимальное расстояние $b$ между ними, пренебрегая их гравитационным взаимодействием.
Ответ выразите через $v$ и $\tau$.
Далее считайте, что в системе отсчёта спутника 2 орбита спутника 1 представляет собой гиперболу с прицельным параметром $b$ на их бесконечно большом удалении. Также считайте, что на бесконечно большом удалении относительная скорость спутников равна $v_0$, найденной в предыдущем пункте.
Когда взаимодействием спутников 1 и 2 вновь можно пренебречь, скорость спутника 1 в системе отсчёта Земли равна $u$ и направлена перпендикулярно линии, соединяющей его с Землёй.
B2  1.00 Найдите $u$. Ответ выразите через $v$.
B3  2.30 Найдите $\tau$. Ответ выразите через $G$, $M_2$, $M_3$ и $R_\text{З}$.
Часть C. Повторное движение в поле тяжести Земли (2.7 балла)
После взаимодействия со спутником 2 орбита спутника 1 в поле тяжести Земли представляет собой гиперболу.
C1  1.00 Найдите скорость $v_\infty$ спутника 1 на бесконечно большом удалении от Земли. Ответ выразите через $v$.
C2  1.50 Найдите угол $\varphi_\infty$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\infty$.
С3  0.20 Возможно ли действительно вывести спутник на орбиту таким образом? Ответ обоснуйте.