A1  ^0.40 Чему равна скорость спутников $v$ в момент запуска? Ответ выразите через $G$, $М_З$ и $R_З$.

Так как при выведении только одного из спутников на орбиту его траектория будет представлять из себя параболу, то скорость $v$ равна второй космической скорости для Земли, то есть:

A2  ^0.60 На каком расстоянии от центра Земли $R_0$ находится точка $P$ пересечения траекторий спутников? Ответ выразите через $R_\text{З}$.

Для движения по параболе
$$r=\frac{p}{1+\cos\theta}
$$
В точке старта спутников
$$R_\text{З}=\frac{p}{2}
$$
откуда
$$p=2R_{\text{З}}
$$
где $p$ - фокальный параметр. Далее, поскольку орбиты симметричны, параметр $\theta$ равен $\frac{\pi}{2}$ для обоих спутников, откуда

A3  ^0.80 Чему равен угол $\varphi$ между направлениями скоростей спутников в точке $P$?

Для каждого из спутников в точке $P$ можно найти из закона сохранения энергии
$$v_P=\frac{v}{\sqrt{2}}
$$
Из закона сохранения момента импульса
$$vR_\text{З}={v_\perp}R_0=2Rv_\perp
$$
Откуда
$$\frac{v_\perp}{v_P}=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
Значит, вектор скорости в точке $P$ составляет угол $\alpha=\frac{\pi}{4}$ с радиус вектором.
Тогда из симметрии орбит
$$\varphi=2\alpha=\frac{\pi}{2}
$$
Также ответ может быть легко получен из оптического свойства параболы.

A4  ^1.50 Найдите время $t_0$, через которое спутники достигают точки $P$. Ответ выразите через $G$, $R_\text{З}$ и $M_\text{З}$.

Выражение для секториальной скорости следующее
$$\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=\sqrt{\frac{G{M_\text{З}}R_\text{З}}{2}}
$$
Откуда
$$t_0=\frac{S}{\sqrt{\frac{G{M_\text{З}}R_\text{З}}{2}}}
$$
где $S$ - площадь, заметаемая радиус-вектором от точки старта до точки $P$.
Направим ось $y$ по направлению на точку старта из центра Земли, а ось $x$ перпендикулярно ей. Из уравнения параболы в полярных координатах
$$p=r(1+\cos\theta)=r+y
$$
откуда
$$r^2=y^2+x^2=p^2+y^2-2py
$$
Получаем
$$y(x)=\frac{p}{2}-\frac{x^2}{2p}=R-\frac{x^2}{4R}
$$
Тогда
$$S=\int\limits_0^{2R_{\text{З}}}ydx=\int\limits_0^{2R}\left(R-\frac{x^2}{4R}\right)dx=2R^2-\frac{8R^3}{12R^2}=\frac{4R^2}{3}
$$
отсюда

B1  ^0.70 Считая, что вблизи точки $P$ спутники двигались вдоль прямых, направления которых совпадали с направлениями их скоростей в данной точке, найдите относительную скорость спутников $v_0$, а также минимальное расстояние $b$ между ними, пренебрегая их гравитационным взаимодействием.
Ответ выразите через $v$ и $\tau$.

Обозначим за $v_P$ скорость спутников в точке $P$.
Скорости спутников в точке $P$ взаимно перпендикулярны, значит относительная скорость $v_0 = v_P \sqrt{2}$ и

В момент, когда спутник $1$ проходит точку $P$, спутник $2$ находится от неё на расстоянии $l=v_P\tau$, а угол между вектором относительной скорости и относительным радиус-вектором частицы $1$ равен $\frac{3\pi}{4}$. Таким образом $b=\frac{l}{\sqrt{2}}$ и

B2  ^1.00 Найдите $u$. Ответ выразите через $v$.

Модули начальной и конечной относительных скоростей спутника $1$ совпадают. Из закона сложения скоростей
$$\vec{u}=\vec{v}_{2_P}+\vec{v}_\text{отн}
$$
Пусть $\beta$ - угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\text{отн}$. Тогда из теоремы синусов
$$\frac{v_P}{\sin(\beta)}=\frac{v_0}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}
$$
откуда
$$\beta=\frac{\pi}{6}
$$
Для $v_1$ получаем
$$u=v_P\cos\frac{\pi}{4}+v_0\cos\beta$$

B3  ^2.30 Найдите $\tau$. Ответ выразите через $G$, $M_2$, $M_3$ и $R_\text{З}$.

Для эксцентриситета имеем
$$e=\frac{1}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)}
$$
Выражение для эксцентриситета
$$e=\sqrt{1+\frac{v^4b^2}{G^2M^2_2}}
$$
Откуда
$$\frac{4}{2+\sqrt{3}}=1+\frac{v^4b^2}{G^2M^2_2}
$$
Или
$$2-\sqrt{3}=\frac{v^2b}{GM_2}=\frac{2bM_\text{З}}{R_\text{З}M_2}
$$
Откуда

C1  ^1.00 Найдите скорость $v_\infty$ спутника 1 на бесконечно большом удалении от Земли. Ответ выразите через $v$.

Из закона сохранения энергии
$$\frac{E}{M_1}=\frac{u^2}{2}-\frac{GM_\text{З}}{2R_\text{З}}=\frac{v^2_\infty}{2}
$$
Учитывая полученные ранее соотношения
$$v^2\cdot{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{8}}-\frac{v^2}{4}=\frac{v^2_\infty}{2}=v^2\cdot{\frac{1+\sqrt{3}}{4}}
$$
Откуда

C2  ^1.50 Найдите угол $\varphi_\infty$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\infty$.

Выражение для эксцентриситета орбиты следующее
$$e=\sqrt{1+\left(\frac{{v_\infty}\cdot{u}\cdot{2R}}{GM_\text{З}}\right)^2}=\sqrt{1+\left((1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}\cdot{\sqrt{2}}\right)^2}
$$
Откуда

С3  ^0.20 Возможно ли действительно вывести спутник на орбиту таким образом? Ответ обоснуйте.

Гравитация– самое "слабое" из четырёх фундаментальных взаимодействий. Основное проявление гравитации, с которым мы встречаемся в повседневной жизни – гравитационное поле Земли; хотя таким образом взаимодействуют между собой любые предметы, имеющие массу, этим взаимодействием почти всегда можно пренебречь. Приведем количественные оценки вопроса о том, могут ли два искусственных спутника Земли столь существенно повлиять на траектории друг на друга.
Масса самый тяжёлых $\textit{способных передвигаться}$ сооружений, построенных человечеством, может достигать нескольких сотен тысяч тонн (например, авианосцы). Предположим, что масса $M_2 \sim 10^9 $кг. Тогда, для выполнения манёвра, указанного в задаче, прицельный параметр $b$ по порядку величины можно оценить как
$$
b \sim \frac{M_2}{M_3} R_3
$$
Используя $M_3 = 6 \cdot 10^{24} $кг, $R_3 = 6,4 \cdot 10^6$ м, получим:
$$
b \sim 10^{-9} \text{м},
$$
что сравнимо с межатомными расстояниями. Как и следовало ожидать, в реальности гравитационное притяжение спутника пренебрежимо мало.