Pho.rs: Два спутника

A1 ^0.40 Чему равна скорость спутников $v$ в момент запуска? Ответ выразите через $G$, $М_З$ и $R_З$.

1 \[
v = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}}
\]

0.40

A2 ^0.60 На каком расстоянии от центра Земли $R_0$ находится точка $P$ пересечения траекторий спутников? Ответ выразите через $R_\text{З}$.

3 \[
R_0 = 2R_З
\]

0.60

A3 ^0.80 Чему равен угол $\varphi$ между направлениями скоростей спутников в точке $P$?

1 M1 \[ \varphi = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ} \]	0.80
2 M2 В пт. A2 $R_0 = \sqrt{2}R_З$, используется ЗСЭ и ЗСМИ и ответ: \[ \varphi = \arccos (1 - \sqrt{2}) = 2 \, рад \]	0.40
3 M3 В пт. A2 $R_0 = \sqrt{2}R_З$, используется уравнение траектории и ответ \[ \varphi = 2 \arctan \sqrt{2} \]	0.40

A4 ^1.50 Найдите время $t_0$, через которое спутники достигают точки $P$. Ответ выразите через $G$, $R_\text{З}$ и $M_\text{З}$.

1 \[ \frac{dS}{dt} = \sqrt{\frac{GMR_З}{2}} \]	0.50
2 M1 Заметенная площадь \[ S = \frac{4R_З^2}{3} \]	0.50
3 M1 \[ t_0 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \sqrt{\frac{R_З^3}{GM}} \]	0.50
4 M2 В пт. A2 $R_0 = \sqrt{2} R_З$ и заметенная площадь \[ S = \frac{2 \sqrt{2} R_З^2}{3} \]	0.25
5 M2 В пт. A2 $R_0 = \sqrt{2} R_З$ и \[ t_0 = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{R_З^3}{GM}} \]	0.25
6 Ответ в виде интеграла	-0.40

B1 ^0.70 Считая, что вблизи точки $P$ спутники двигались вдоль прямых, направления которых совпадали с направлениями их скоростей в данной точке, найдите относительную скорость спутников $v_0$, а также минимальное расстояние $b$ между ними, пренебрегая их гравитационным взаимодействием.
Ответ выразите через $v$ и $\tau$.

1 \[ v_0 =2 v_P \sin \frac{\varphi}{2} \]	0.20
2 \[ b = v_P \tau \cos \frac{\varphi}{2} \]	0.20
3 \[ v_0 = v \]	0.10
4 \[ b = \frac{v\tau}{2} \]	0.20

B2 ^1.00 Найдите $u$. Ответ выразите через $v$.

1 Указано, что модули начальной и конечной относительных скоростей спутников совпадают.	0.20
2 \[ \frac{v_P}{\sin \beta}=\dfrac{v_0}{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\varphi}{2}\right)} \]	0.30
3 \[ \beta = \frac{\pi}{6} \]	0.10
4 \[ u = v_0 \cos \beta + v_P \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}\right) \] или теорема косинусов для треугольника скоростей	0.20
5 \[ u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}v \]	0.20

B3 ^2.30 Найдите $\tau$. Ответ выразите через $G$, $M_2$, $M_3$ и $R_\text{З}$.

1 \[ e =\frac{1}{\cos \dfrac{\beta}{2}} \]	0.50
2 \[ e = \sqrt{1 + \frac{v_0^4 b^2}{G^2M_2^2}} \]	0.50
3 \[ \frac{v^2b}{GM_2} = 2 - \sqrt{3} \]	0.30
4 \[ \tau=\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{\frac{R^3_\text{З}}{2GM_\text{З}}}\cdot{\frac{M_2}{M_\text{З}}} \]	1.00

C1 ^1.00 Найдите скорость $v_\infty$ спутника 1 на бесконечно большом удалении от Земли. Ответ выразите через $v$.

1 \[ \frac{u^2}{2}-\frac{GM_\text{З}}{{R_0}}=\frac{v^2_\infty}{2} \]	0.30
2 \[ v_\infty=v\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} \]	0.70

C2 ^1.50 Найдите угол $\varphi_\infty$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\infty$.

1 \[ e=\sqrt{1+\left(\frac{{v_\infty}\cdot{u}\cdot{2R_З}}{GM_\text{З}}\right)^2} \]	1.00
2 $$\varphi_\infty=\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+2(1+\sqrt{3})^3}}\right) = 8.9^{\circ} $$	0.50

С3 ^0.20 Возможно ли действительно вывести спутник на орбиту таким образом? Ответ обоснуйте.

1 Ответ "нет" с количественным обоснованием.

0.20

Два спутника

Разбалловка